利用归纳法与分部积分证明算子幂次积分表达式的困惑

嘿，你选数学归纳法的方向完全没问题！卡壳的地方其实是归纳步骤里的积分顺序处理，而不是硬套分部积分（当然分部积分也能走通，但交换积分顺序更直观）。我一步步给你拆解：

1. 归纳基础（n=1） #

当$n=1$时，$T^1 f(x) = \int_0^x f(t)dt$，而公式右边是$\frac{1}{(1-1)!}\int_0^x (x-t)^{0}f(t)dt = \int_0^x f(t)dt$，显然成立。

2. 归纳假设 #

假设对某个$n \in \mathbb{N}$，公式成立：
$$(T^n f)(x) = \frac{1}{(n-1)!} \int_0 ^x (x-t)^{n-1}f(t)dt$$

3. 归纳步骤（推n+1的情况） #

核心是先写出$T^{n+1}f$的定义：
$$T^{n+1}f(x) = T(T^n f)(x) = \int_0^x (T^n f)(s) ds$$

把归纳假设代入进去，得到：
$$T^{n+1}f(x) = \int_0^x \left( \frac{1}{(n-1)!} \int_0^s (s-t)^{n-1}f(t)dt \right) ds$$

关键操作：交换积分顺序 #

因为被积函数是连续的（$f \in C([0,2])$，积分后依然连续），满足Fubini定理的条件，我们可以交换积分顺序：

• 原积分区域是$0 \leq t \leq s \leq x$
• 交换后变成$0 \leq t \leq x$，且$t \leq s \leq x$

于是式子可以改写为：
$$T^{n+1}f(x) = \frac{1}{(n-1)!} \int_0^x f(t) \left( \int_t^x (s-t)^{n-1} ds \right) dt$$

计算内层积分 #

令$u = s - t$，则$du = ds$，当$s=t$时$u=0$，$s=x$时$u=x-t$，内层积分变为：
$$\int_0^{x-t} u^{n-1} du = \left. \frac{u^n}{n} \right|_0^{x-t} = \frac{(x-t)^n}{n}$$

代入化简 #

把内层积分的结果代入，得到：
$$T^{n+1}f(x) = \frac{1}{(n-1)!} \cdot \frac{1}{n} \int_0^x (x-t)^n f(t)dt = \frac{1}{n!} \int_0^x (x-t)^n f(t)dt$$

这正好对应$n+1$时的公式（把原公式里的$n$换成$n+1$，就是$\frac{1}{(n+1-1)!}\int_0^x (x-t)^{(n+1)-1}f(t)dt$），归纳步骤得证。

如果你非要用分部积分的话，也可以调整变量选择：比如先利用$(T^n f)'(s) = T^{{n-1}f(s)$（因为$Tf$的导数是$f$，$T}2f$的导数是$Tf$，以此类推），再对$\int_0^x (T^n f)(s) ds$做分部积分，但这个路径确实比交换积分顺序绕一些，优先推荐上面的方法～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dominated Convergence Theorem