求证正则单态射为极端单态射及相关命题技术咨询

嘿，我刚好也琢磨过这个问题，结合你提到的《The Joy of Cats》里的命题，给你梳理一下完整的证明逻辑，应该能帮你打通卡壳的地方～

首先先明确两个核心概念，避免混淆：

• 正则单态射：如果一个单态射$f: A \to B$是某两个态射$u, v: B \to D$的等化子，就称$f$是正则单态射。等化子的关键性质是：$uf = vf$，并且对任何满足$uh = vh$的态射$h: X \to B$，都存在唯一的态射$k: X \to A$使得$f \circ k = h$。
• 极端单态射：对于态射$f: A \to B$，如果只要$f = f' \circ e$且$e$是满态射，就能推出$e$是同构，那$f$就是极端单态射。

具体证明步骤 #

假设$f: A \to B$是正则单态射，我们要证明它是极端单态射：

1. 设定条件：假设存在满态射$e: X \to A$和态射$f': A \to B$，使得$f = f' \circ e$。因为$f$是单态射，不难推导$f'$也必然是单态射（复合态射是单态射时，左边的因子一定是单态射）。

2. 利用等化子性质推导等式：
   因为$f$是$u, v: B \to D$的等化子，所以$u \circ f = v \circ f$。把$f = f' \circ e$代入这个等式，得到：
   $$u \circ f' \circ e = v \circ f' \circ e$$
   由于$e$是满态射，满态射具有右可消性（即若$p \circ e = q \circ e$，则$p = q$），所以我们可以消去$e$，得到$u \circ f' = v \circ f'$。

3. 构造逆态射：
   现在$f'$满足$u \circ f' = v \circ f'$，而$f$是$u$和$v$的等化子，根据等化子的泛性质，存在唯一的态射$k: A \to X$，使得$f \circ k = f'$。

4. 验证$k$是$e$的逆：

   • 先证$k \circ e = \text{id}_A$：
     计算$f \circ (k \circ e) = (f \circ k) \circ e = f' \circ e = f = f \circ \text{id}_A$。因为$f$是单态射，单态射具有左可消性（即若$f \circ p = f \circ q$，则$p = q$），所以$k \circ e = \text{id}_A$。
   • 再证$e \circ k = \text{id}_X$：
     我们已经知道$e \circ (k \circ e) = e \circ \text{id}_A = e = \text{id}_X \circ e$，又因为$e$是满态射，右可消，所以直接得到$e \circ k = \text{id}_X$。

这样就证明了$e$是同构，完全符合极端单态射的定义，所以正则单态射必然是极端单态射。

另外你提到的《The Joy of Cats》命题7.6.2里的结论，其实也可以反过来辅助理解：比如命题2说若$g \circ f$是极端单态射则$f$是极端单态射，这也侧面说明极端单态射的“左因子”保持极端性，而正则单态射通过上面的证明可以归入极端单态射的范畴。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Francesco Gemma