求满足指定三角函数方程的实数λ（α不为π/2整数倍）

哇，你已经把方程化简到关键步骤了，接下来我们一步步拆解它就行！

首先我们把你得到的式子再整理下，先令$k = \lambda - 1$，再利用$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$代入，原来的方程就能变成更简洁的形式：
$$\frac{\sin(k\alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha} = k$$
进一步整理后得到核心方程：
$$\sin(k\alpha) = k\sin\alpha\cos\alpha \tag{1}$$

情况1：$k = 0$ #

当$k=0$时，也就是$\lambda - 1 = 0$，直接得到$\lambda = 1$。
我们代入原方程验证一下：左边是$\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} = 1 - 1 = 0$，右边是$\lambda - 1 = 0$，完全相等，所以$\lambda=1$肯定是一个解。

情况2：$k \neq 0$ #

这时候方程(1)可以改写成：
$$\sin(k\alpha) = \frac{k}{2}\sin2\alpha$$

针对任意符合条件的$\alpha$的解 #

如果题目要求的是对所有不为$\frac{\pi}{2}$整数倍的$\alpha$都成立的$\lambda$，那我们可以试试整数$k$值：
当$k=2$时，$\lambda = k + 1 = 3$，左边是$\sin(2\alpha)$，右边是$\frac{2}{2}\sin2\alpha = \sin2\alpha$，两边完全一致，不管$\alpha$是啥（只要满足条件）都成立，所以$\lambda=3$是另一个通用解。

针对特定$\alpha$的解 #

如果是给定某个具体的$\alpha$（不为$\frac{\pi}{2}$整数倍）求$\lambda$，那这个方程就是关于$\lambda$的超越方程了。除了$\lambda=1$和$\lambda=3$外，可能还有其他实数解，这时候就需要用数值方法（比如牛顿迭代）来求解，具体解的数量和值会依赖于$\alpha$的具体取值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ranjeet Bahadur