以相容方式拆分两个精确序列的模论技术咨询

先把所有给定的条件梳理清楚：

• 我们有诺特整环$R$，以及$R$-模的包含关系$N \subseteq M$，这个包含满足一个关键的无挠类条件：对任意$m \in M$和$r \in R$，如果$rm \in N$，那么一定有$rm = 0$。
• 再看自由模这边：$P \subseteq F$是有限秩的自由$R$-模，存在两个满的$R$-模同态：$f: M \rightarrow F$和$g: N \rightarrow P$，并且它们构成交换图：
  $$\begin{array}{ccc}
  M& \stackrel{f}{\rightarrow} & F \
  \cup & & \cup \
  N & \stackrel{g}{\rightarrow} & P
  \end{array}$$
  简单说就是，把$f$限制在$N$上就等于$g$——这是交换图的核心含义。
• 另外还有两个截面同态：$s_1: P \rightarrow N$满足$g \circ s_1 = \text{id}_P$（也就是说$s_1$是满同态$g$的右逆，能把$P$中的元素拉回$N$里）；$s_2: F \rightarrow M$满足$f \circ s_2 = \text{id}_F$（同理，$s_2$是$f$的右逆）。

常见问题的分析方向 #

如果你的问题是要推导比如$s_2(P)$和$N$的关系，或者相关的模同构、包含性质，这里给个初步的思路：
任取$p \in P$，我们看$s_2(p) \in M$。根据交换图，$f$限制在$N$上是$g$，所以$f(s_1(p)) = g(s_1(p)) = p$，而$f(s_2(p)) = p$，所以$f(s_2(p) - s_1(p)) = 0$，也就是说$s_2(p) - s_1(p)$在$f$的核里。
再结合那个关键条件：假设存在$r \in R$使得$r s_2(p) \in N$，那么根据条件必须有$r s_2(p) = 0$。而另一方面，$g(r s_2(p)) = r g(s_2(p)) = r f(s_2(p)) = r p$（因为交换图里$g = f|_N$，即使$s_2(p)$不在$N$里，当$r s_2(p)$在$N$时这个等式成立），所以$r p = g(0) = 0$。但$P$是有限秩自由$R$-模，而$R$是整环，自由模都是无挠的，所以$r = 0$。这说明不存在非零的$r \in R$使得$r s_2(p) \in N$，换句话说，$s_2(p)$在$M$中关于$N$是“完全无挠”的，甚至可以推出$s_2(P) \cap N = 0$。

如果你的问题有更明确的结论要证明，可以补充细节，不过基于现有给出的条件，先整理到这里。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者D_S