集合上确界与下确界证明问询：由inf A=0推导sup A'=sup A

我现在碰到了一个实分析里的证明难题，想请大家帮忙梳理下思路：

首先明确问题里的定义和已知结论：

• 给定正实数集的任意子集 $A\subseteq\mathbb{R^+}$，定义差集 $A':={|x-y| \mid x,y\in A,x\ne y}$，显然 $A'\subseteq\mathbb{R^+}$。
• 已经证明的结论：当 $\sup A$ 有限时，$\sup A'\le \sup A$。

现在需要证明的是：在 $\sup A$ 有限的前提下，若 $\inf A = 0$，则 $\sup A' = \sup A$。

我目前卡在了证明的推进步骤上，教授提示我需要找小于 $\sup A$ 的 $A'$ 的上界，我已经找到了 $\sup A -\inf A$，但不知道接下来该怎么利用这个点或者有没有其他方向可以走，想请教下大家后续的思路。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Omrane