复数为何采用$2D$平面展示？其$(a+bi)$形式而非坐标形式的缘由

这问题问得特别戳中要害——其实复数的两种表示方法本质上是等价的，但写成a+bi的形式有它实实在在的、没法替代的优势，咱们慢慢说：

• 代数运算的天然适配：如果用(1,2)这种坐标形式表示复数，你想想怎么算两个复数的乘法？(1,2)*(3,4)得专门记一套坐标乘法规则；但写成1+2i的话，直接用咱们小学就学过的乘法分配律（FOIL法则）展开就行：(1+2i)(3+4i)=3+4i+6i+8i²，再结合i²=-1的定义，分分钟就能算出结果。这种形式把复数和我们熟悉的实数代数运算无缝衔接了，完全不用额外记一套陌生的坐标运算逻辑。

• 历史传承的惯性（且好用）：复数最初是为了解决像x²=-1这种实数范围内无解的代数方程被发明出来的，一开始它就是以“实数+虚数单位乘实数”的代数形式出现的。后来数学家们才发现，复数可以对应到平面上的点（也就是复平面），但这种代数写法因为太顺手，就一直沿用下来了——毕竟从诞生起，它就是为代数运算服务的。

• 和其他复数表示法的顺畅衔接：复数除了代数形式，还有极坐标形式（模长+辐角）和指数形式re^(iθ)。写成a+bi的话，和极坐标形式的转换（a=r cosθ，b=r sinθ）非常直观；而且欧拉公式e^(iθ)=cosθ+i sinθ也是直接建立在代数形式上的，要是用坐标(a,b)，和这些形式的衔接就没这么自然了。

• 本质是同一事物的两种视角：其实你完全可以把a+bi看作是坐标(a,b)的另一种“代数包装”——复平面上的点既可以用坐标描述它的位置，也可以用代数形式描述它参与运算的方式。就像你既可以说“我在(3,4)这个位置”，也可以说“我从原点出发，先沿实轴走3，再沿虚轴走2i”，后者更方便描述“移动”（也就是运算）的过程。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Simon Binyamin