椭圆上取值一致的函数刻画：类比球面函数的条件探究

这是个非常自然的推广问题！先回顾下你提到的正交不变函数场景：函数$g$满足对所有正交矩阵$A$有$g(Ax)=g(x)$，本质是因为正交变换能保持欧氏球面（$|x|=r$）不变，所以$g$在同一球面上取值完全一致。要推广到椭圆的情况，我们可以从定义出发，一步步推导对应的刻画条件：

第一步：明确“同半径椭圆”的数学定义 #

欧氏空间$\mathbb{R}^n$中，中心在原点的椭圆（高维则是椭球面），可以用正定二次型来精准描述：给定一个正定矩阵$M \in \mathbb{R}^{n \times n}$，我们把集合
$$
\mathcal{E}_c = { x \in \mathbb{R}^n \mid x^T M x = c }
$$
称为“半径为$\sqrt{c}$”的$M$-椭圆（$c>0$为常数）。不同的$c$对应不同大小的椭圆，同一个$c$就是你所说的“同半径椭圆”。

这里用正定矩阵的原因很直观：正定二次型的水平集必然是椭圆（二维时就是我们熟悉的平面椭圆），且保证集合非空、有界，符合“椭圆”的几何直觉。

第二步：对应的变换不变性条件 #

类比正交不变函数的逻辑：正交变换是保持欧氏范数$|x|$（即二次型$x^T I x$，$I$为单位矩阵）不变的线性变换。那对于$M$-椭圆，我们需要找到能保持二次型$x^T M x$不变的线性变换，这类变换被称为**$M$-正交矩阵**，定义如下：

一个矩阵$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$是$M$-正交矩阵，当且仅当$A^T M A = M$。

此时，函数$f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$在同$M$-椭圆上取值一致（即对任意$x,y$满足$x^T M x = y^T M y$，都有$f(x)=f(y)$），等价于$f$是**$M$-正交不变的**——也就是对所有$M$-正交矩阵$A$，都满足：
$$
f(Ax) = f(x) \quad \forall x \in \mathbb{R}^n
$$

第三步：验证等价性的直观理解 #

因为$M$是正定矩阵，我们总能找到可逆矩阵$S$使得$M = S^T S$（比如Cholesky分解，或是谱分解后取平方根）。此时$x^T M x = |Sx|^{2$，也就是说，$x}T M x = y^T M y$等价于$|Sx| = |Sy|$。

那么，函数$f(x)$只依赖于$x^T M x$，就等价于$f(x) = h(|Sx|)$，其中$h: \mathbb{R}_{\geq 0} \to \mathbb{R}$是某个一元函数。现在看变换不变性：如果$A$是$M$-正交矩阵，那么$A^T S^T S A = S^T S$，两边左乘$(S^T){-1}$、右乘$S^{-1}$后，能得到$(S A S^{-1})T (S A S^{-1}) = I$——这说明$SAS^{-1}$是普通的正交矩阵。

所以$f(Ax) = h(|S A x|) = h(|SAS^{-1} \cdot Sx|) = h(|Sx|) = f(x)$，毕竟正交变换会保持欧氏范数不变。反过来，如果$f$对所有$M$-正交矩阵$A$都满足$f(Ax)=f(x)$，那么对任意在同一$M$-椭圆上的$x,y$，总能找到$M$-正交矩阵$A$使得$y=Ax$（类似正交变换能把球面上一点转到另一点），自然就有$f(y)=f(x)$。

结论 #

若你所说的“同半径椭圆”是由某个正定矩阵$M$定义的水平集$x^T M x = c$，那么函数$f$在这些椭圆上取值一致的充要条件是：对所有满足$A^T M A = M$的矩阵$A$，$f(Ax)=f(x)$对任意$x \in \mathbb{R}^n$成立。

这个结论完美对应了正交不变函数的场景——当$M=I$（单位矩阵）时，$M$-正交矩阵就是普通正交矩阵，条件就退化为你提到的$g(Ax)=g(x)$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Lisa