技术问询：求证从D⊂ℝ^p到ℝ^q的一致收敛有界函数序列的极限函数有界

没问题，我来帮你一步步完成这个命题的证明，参考的是Joseph Taylor所著的《Foundation of Analysis》教材：

设${Fₙ}$是从集合$D⊂ℝ^p$到$ℝq$的有界函数序列，若${Fₙ}$在$D$上一致收敛于$F$，则$F$也是有界的。

证明步骤如下：

• 任取$\varepsilon > 0$，根据一致收敛的定义，由于${Fₙ}$在$D$上一致收敛于$F$，因此存在正整数$N$（这里注意你写的$N∈ℝ$是笔误，应为$N∈ℕ$），使得对所有$x∈D$且$n≥N$时，都有||F(x) - Fₙ(x)|| < ε。
• 因为${Fₙ}$是有界函数序列，根据有界函数序列的定义，存在一个常数$M > 0$，使得对所有$n∈ℕ$以及所有$x∈D$，都满足||Fₙ(x)|| ≤ M。
• 接下来利用三角不等式，对任意$x∈D$，我们可以把$F(x)$拆写成：
  ||F(x)|| = ||F(x) - F_N(x) + F_N(x)|| ≤ ||F(x) - F_N(x)|| + ||F_N(x)||
• 结合前面的结论，当$n=N$时，||F(x) - F_N(x)|| < ε，同时||F_N(x)|| ≤ M，代入后可得：
  ||F(x)|| < ε + M
• 由于$\varepsilon$是任意取定的正数，$M$是固定的常数，因此$\varepsilon + M$是一个有限的正数，这就说明$F$在$D$上是有界的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Alexander King