判断(l²(ℕ,F), ||v||_w)是否完备：寻找绝对收敛非收敛级数

首先直接给结论：这个空间不是完备的，我们可以通过构造一个绝对收敛但本身不收敛的向量级数来验证这一点。

构造关键的向量级数 #

我们先取l²(ℕ,F)里的标准单位向量序列{e_n}：其中e_n的第n个分量为1，其余分量全为0（显然每个e_n都属于l²，因为平方和是1，收敛）。

接下来考虑级数：∑_{n=1}^∞ n e_n

第一步：验证级数绝对收敛 #

绝对收敛的定义是级数∑_{n=1}^∞ ||n e_n||_w收敛。计算这个范数：
||n e_n||w = ∑{k=1}^∞ |(n e_n)_k| / 2^k
因为只有第n个分量是n，其余都是0，所以这个和就是n / 2^n。

现在看级数∑_{n=1}^∞ n/2^n的收敛性：用比值判别法，计算相邻项的比值极限：
lim_{n→∞} [(n+1)/2^{n+1}] / [n/2^n] = lim_{n→∞} (n+1)/(2n) = 1/2 < 1
所以这个级数是收敛的，也就是说原向量级数是绝对收敛的。

第二步：证明级数在空间内不收敛 #

假设这个级数在装备||·||_w的l²(ℕ,F)里收敛到某个向量v=(v₁, v₂, v₃, ...)，那么它的部分和S_N = ∑_{n=1}^N n e_n = (1, 2, ..., N, 0, 0, ...)应该满足||S_N - v||_w → 0当N→∞。

对于任意固定的下标k，当N ≥ k时，|k - v_k| / 2^k ≤ ||S_N - v||_w。随着N趋向无穷，右边趋近于0，所以必然有v_k = k对所有k成立。

但向量v=(1,2,3,...,k,...)并不属于l²(ℕ,F)：因为l²空间要求分量的平方和收敛，而∑_{k=1}^∞ k²显然是发散的，v不在我们的空间里。

这就说明原级数在这个空间中没有极限，也就是不收敛。

结论 #

完备空间的一个核心性质是：所有绝对收敛的级数都收敛。而我们找到了一个绝对收敛但不收敛的级数，因此装备范数||v||_w的l²(ℕ,F)不是完备空间。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user284408