积分计算疑问：已知∫1/(x+1)dx=ln|x+1|+C，为何∫1/(x+1/3)dx≠ln|x+1/3|+C？

其实你可能有个小误解——∫1/(x+1/3)dx的结果就是ln|x+1/3|+C，咱们来直接验证一下：对右边的表达式求导，根据链式法则，d/dx [ln|x+1/3|] = 1/(x+1/3) * d/dx(x+1/3)，而x+1/3的导数是1，所以最终结果正好等于被积函数1/(x+1/3)，这说明这个积分结果是完全正确的。

那你为什么会觉得它不等于呢？大概率是把它和另一个类似的积分搞混了：比如∫1/(3x+1)dx，这个积分的结果就不是ln|3x+1|+C了。因为3x+1的导数是3，所以需要凑出1/3的系数来抵消：

∫1/(3x+1)dx = (1/3)∫1/(3x+1)d(3x+1) = (1/3)ln|3x+1|+C

总结一下核心逻辑：

• 当积分式是∫1/(ax+b)dx时，只有当a=1的时候，结果才是ln|ax+b|+C；
• 如果a≠1，就需要在前面乘以1/a的系数，这是链式法则在积分中的应用（换元法的本质）。

所以回到你的问题，∫1/(x+1/3)dx里x的系数是1，直接套用∫1/u du = ln|u|+C（令u=x+1/3，du=dx），结果就是ln|x+1/3|+C，完全没问题哦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Arthur Losnikov