方程$4\sin ^2x +10x^2=\cos x$实根个数判定问题咨询

让我们一步步拆解这个问题，搞清楚方程到底有多少个实根：

首先构造函数$f(x)=4\sin^2x +10x^2 - \cos x$，原方程的实根就是$f(x)=0$的解。

• 第一步：分析函数奇偶性
  因为$\sin^2(-x)=\sin2x$，$(-x)^2=x2$，$\cos(-x)=\cos x$，所以：
  $$f(-x)=4\sin^2(-x)+10(-x)2-\cos(-x)=4\sin^2x+10x2-\cos x=f(x)$$
  这说明$f(x)$是偶函数，图像关于y轴对称，我们只需要先搞定$x\geq0$的情况，再对称到$x<0$即可。

• 第二步：计算特殊点的函数值

  • 当$x=0$时，$f(0)=4\times0 +10\times0 - \cos0=-1<0$；
  • 当$x=\frac{\pi}{2}$时，$f(\frac{\pi}{2})=4\times1 +10\times(\frac{\pi}{2})^2 -0=4+\frac{5\pi^2}{2}\approx4+24.67=28.67>0$。
    根据零点存在定理，$(0,\frac{\pi}{2})$内至少有一个实根。

• 第三步：分析$x>0$时的单调性
  对$f(x)$求导：
  $$f'(x)=8\sin x\cos x +20x +\sin x=4\sin2x +\sin x +20x$$
  当$x>0$时：

  • $20x$是恒正的，而且增长速度远快于三角函数部分；
  • 三角函数部分$|4\sin2x +\sin x|\leq4+1=5$，绝对值最大不超过5；
  • 当$x>0.25$时，$20x>5$，此时$f'(x)=20x + (4\sin2x+\sin x)\geq20x-5>0$；
  • 当$x\in(0,0.25]$时，$\sin x$和$\sin2x$都是正的，所以$4\sin2x+\sin x>0$，加上$20x>0$，$f'(x)$仍然为正。

  这意味着**$x>0$时，$f(x)$是严格单调递增的**。结合$f(0)=-1<0$，当$x→+∞$时，$10x^2$主导函数值趋向$+∞$，所以$x>0$时$f(x)$有且仅有一个实根。

• 第四步：推导$x<0$的情况
  因为$f(x)$是偶函数，$x<0$时的图像和$x>0$关于y轴对称，且$x<0$时$f(x)$严格单调递减（偶函数的导数是奇函数，$x<0$时$f'(x)=-f'(-x)<0$）。当$x→-∞$时，$10x^2$趋向$+∞$，$f(x)→+∞$，而$f(0)=-1<0$，所以$x<0$时$f(x)$也有且仅有一个实根。

• 最后验证$x=0$
  $f(0)=-1≠0$，所以$x=0$不是方程的解。

综上，原方程恰好有2个实根，对应选项3。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user520629