求证函数$f(x)=e^x+x$的单射性：我的逆否法部分证明推导

要证明定义在$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$上的函数$f(x)=e^x+x$是单射，我采用逆否命题法来推导：单射的核心定义是「若$f(x_1)=f(x_2)$，则$x_1=x_2$」，它的逆否命题为「若$x_1≠x_2$，则$f(x_1)≠f(x_2)$」，我们只需证明这个逆否命题成立即可。

具体证明步骤如下：

• 假设$x_1,x_2\in \mathbb{R}$且$x_1\neq x_2$，根据实数的有序性，必然满足$x_1<x_2$或$x_2<x_1$，两种情况逻辑对称，我们只需要证明$x_1<x_2$时$f(x_1)<f(x_2)$，另一种情况同理可证。
• 若$x_1<x_2$，则存在正实数$a\in \mathbb{R}^+$，使得$x_2=x_1+a$。
• 代入函数表达式，我们需要验证$f(x_1)<f(x_2)$，即：
  $$e^{x_1}+x_1 < e^{x_1+a}+(x_1+a)$$
• 对不等式逐步化简：
  先两边同时减去$x_1$，得到：
  $$e^{x_1} < e^{x_1}\cdot e^a + a$$
  由于$e^{{x_1}$恒大于0，两边同时除以$e}{x_1}$，不等号方向不变：
  $$1 < e^a + \frac{a}{e^{x_1}}$$
  因为$a>0$，所以$e^{a>1$，无论$x_1$取何实数值，$\frac{a}{e}{x_1}}$都是实数，因此$e^a + \frac{a}{e^{x_1}}$必然大于1，上述不等式成立，进而推出$f(x_1)<f(x_2)$。

综上，当$x_1≠x_2$时，$f(x_1)≠f(x_2)$，因此$f(x)$是单射。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Brandon O'Neil