如何证明满足参数约束的多元乘积形式函数的凸性？

没问题，咱们一步步拆解这个凸性证明，两种思路供你参考——一种是利用凸函数的组合与复合性质（更简洁），另一种是通过Hessian矩阵验证（更严谨）：

1. 简化原函数表达式 #

先把原函数改写得更直观，方便后续分析：
$$
f(x_1,x_2,...,x_n)= \prod_{i=1}^n \left(\frac{x_i}{r_i}\right)^{-p_i} = \prod_{i=1}^n \left( \frac{r_i}{x_i} \right)^{p_i}
$$
这里$r_i$都是正的常数，后续分析可以先忽略常数部分（凸函数乘以正常数、加常数都不会改变凸性）。

2. 取对数转化为求和形式 #

对$f(x)$取自然对数——这步是关键，因为自然对数是单调递增的函数，不会改变函数的凸性顺序（如果$\ln f(x)$对应的复合函数是凸的，原函数$f(x)$也必然是凸的）：
$$
\ln f(x) = \sum_{i=1}^n p_i \ln\left( \frac{r_i}{x_i} \right) = \sum_{i=1}^n p_i (\ln r_i - \ln x_i)
$$
把常数项和变量项拆分：
$$
\ln f(x) = \left( \sum_{i=1}^n p_i \ln r_i \right) - \sum_{i=1}^n p_i \ln x_i
$$

3. 分析每一项的凸性 #

• 第一项$\sum_{i=1}^n p_i \ln r_i$是个常数，常数函数既是凸函数也是凹函数，不影响整体凸性。
• 单变量函数$\ln t$（$t>0$）是凹函数，所以$-\ln t$就是凸函数（凹函数乘以-1会翻转凸性）。
• 已知$0 \le p_i \le 1$且$\sum_{i=1}^n p_i =1$，所有$p_i$都是非负系数。根据凸函数的核心性质：非负系数的凸函数线性组合仍然是凸函数，因此$\sum_{i=1}^n p_i (-\ln x_i)$是凸函数。

综上，$\ln f(x)$是凸函数（凸函数加常数还是凸函数）。

4. 复合函数的凸性验证 #

原函数$f(x) = e^{\ln f(x)}$，外层函数$F(t)=e^t$有两个关键性质：

1. 它是凸函数；
2. 它是单调递增的函数。

根据复合函数的凸性规则：如果外层函数是凸函数且单调递增，内层函数是凸函数，那么复合后的函数也是凸函数。这里内层$\ln f(x)$是凸函数，外层$e^t$满足条件，因此$f(x)$是凸函数。

凸函数的另一个判定准则是：定义域为凸集的二阶可微函数是凸函数，当且仅当其Hessian矩阵在定义域内处处半正定。

1. 计算二阶偏导数 #

先把$f(x)$写成：
$$
f(x) = \left( \prod_{i=1}^n r_i^{p_i} \right) \cdot \prod_{i=1}^n x_i^{-p_i}
$$
常数部分$\prod_{i=1}^n r_i^{{p_i}$不影响Hessian矩阵，我们只需要分析$\prod_{i=1}}n x_i^{-p_i}$的二阶导数：

• 对$x_i$的二阶偏导数：
  $$
  \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2} = p_i(p_i +1) f(x) x_i^{-2}
  $$
  因为$f(x)>0$，$p_i \ge0$，所以这个值必然非负。
• 交叉偏导数（$i \neq j$）：
  $$
  \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = p_i p_j f(x) x_i^{-1} x_j^{-1}
  $$
  同样，所有项都是非负的。

2. 验证Hessian矩阵半正定 #

对于任意向量$v \in \mathbb{R}^{n$，计算二次型$v}T H v$（$H$为Hessian矩阵）：
$$
v^T H v = f(x) \sum_{i=1}^n p_i(p_i +1) \left( \frac{v_i}{x_i} \right)^2 + f(x) \sum_{i \neq j} p_i p_j \frac{v_i v_j}{x_i x_j}
$$
整理后可以变形为：
$$
v^T H v = f(x) \left( \sum_{i=1}^n p_i \left( \frac{v_i}{x_i} \right)^2 + \left( \sum_{i=1}^n p_i \frac{v_i}{x_i} \right)^2 \right)
$$
因为$f(x)>0$，括号内的两项都是平方和或平方，必然非负，因此$v^T H v \ge 0$，即Hessian矩阵半正定，说明$f(x)$是凸函数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Han