单调性相反的两个函数乘积是否存在最大值？

咱们来一步步拆解这个问题，先理清楚已知条件和你的思路，再用具体例子验证结论：

已知条件明确 #

先把给定的函数条件再明确一下：

• $f(x)$：全程小于0，严格递增，且有上界0（也就是说当自变量往某个方向变化时，$f(x)$会从下方无限趋近于0）
• $g(x)$：全程小于0，严格递减，且有上界0（同理，自变量往某个方向变化时，$g(x)$从下方无限趋近于0）

你的尝试点评 #

你通过求导分析乘积$h(x)=fg$的单调性，这个思路完全没问题：

我的尝试：令$h=fg$，则$h'(x)= f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = \leq 0" + \geq 0"$，无法确定结果。

咱们把导数的两项拆开看就更清楚了：

• 因为$f$严格递增，所以$f'(x) > 0$，但$g(x) < 0$，所以第一项$f'(x)g(x)$是负数
• 因为$g$严格递减，所以$g'(x) < 0$，而$f(x) < 0$，负负得正，第二项$f(x)g'(x)$是正数

一正一负的两项相加，确实没法直接判断导数的正负，自然也就没法通过单调性直接确定最大值是否存在。

核心结论：乘积$fg$不一定存在最大值 #

这个问题的答案不是绝对的，得看具体的函数形式，咱们用两个例子来说明：

例子1：存在最大值的情况 #

取$f(x) = -\frac{1}{1+e^x}$（定义域为全体实数）：

• $f(x)$全程小于0，严格递增（导数$f'(x)=\frac{e^x}{(1+ex)^{2}>0$），当$x\to+\infty$时$f(x)\to0}-$，上界为0

取$g(x) = -e^x$（定义域限制为$(-\infty, 0]$）：

• $g(x)$全程小于0，严格递减（导数$g'(x)=-e^{x<0$），当$x\to-\infty$时$g(x)\to0}-$，上界为0

计算乘积$h(x)=f(x)g(x)=\frac{e^x}{1+ex}$，在定义域$(-\infty,0]$上，$h(x)$的最大值在$x=0$处取得，为$\frac{1}{2}$，显然存在最大值。

例子2：不存在最大值的情况 #

还是取$f(x) = -\frac{1}{1+e^x}$（定义域为全体实数），但把$g(x)$的定义域扩展到全体实数：

• $g(x) = -e^{x$在全体实数上严格递减，全程小于0，上界为0（$x\to-\infty$时$g(x)\to0}-$）

此时乘积$h(x)=\frac{e^x}{1+ex}$是一个严格递增的函数，当$x\to+\infty$时$h(x)$无限趋近于1，但永远达不到1，因此不存在最大值。

总结 #

所以乘积$fg$是否存在最大值，取决于两个函数的具体形式和定义域范围，仅通过导数的符号无法直接判断，需要结合函数的极限行为来分析。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ToniAz