求使方程kx²=log(x)仅有一个解的k的取值

嘿，这个问题很容易漏解，我当初第一次想的时候也只想到了k=0，后来仔细分析才发现还有其他情况，咱们一步步拆解：

首先明确定义域：因为log(x)的要求，x必须大于0，所以所有分析都在x>0的范围内进行。

1. 当k < 0 时 #

此时函数f(x) = kx²在x>0区间是严格递减的：x趋近0+时，f(x)趋近0；x趋向+∞时，f(x)趋向-∞。
而函数g(x) = log(x)在x>0区间是严格递增的：x趋近0+时，g(x)趋向-∞；x趋向+∞时，g(x)趋向+∞。
一个严格递减、一个严格递增的函数，在x>0上必然会有且仅有一个交点，所以所有k<0的取值都满足方程仅有一个解。

2. 当k = 0 时 #

方程简化为log(x) = 0，解得x=1，确实只有一个解。不过这里要注意，这只是其中一个解，不是全部！

3. 当k > 0 时 #

这时候f(x) = kx²是开口向上的抛物线，在x>0时严格递增且增长越来越快；g(x) = log(x)是递增但增速越来越慢的函数。

• 当k太大时，f(x)始终在g(x)上方，两者没有交点；
• 当k太小（0<k<某个临界值），f(x)会先在g(x)上方，然后交叉到下方，再回到上方，形成两个交点；
• 只有当两个函数相切时，才会仅有一个交点，这时候需要联立函数值相等和导数相等的条件：
  1. 函数值相等：kx² = log(x)
  2. 导数相等（相切时斜率相同）：2kx = 1/x

从第二个式子推导：2kx² = 1 → kx² = 1/2，把这个代入第一个式子：
1/2 = log(x) → 解得x = e^(1/2) = √e（这里默认是自然对数lnx，如果是常用对数lgx，x=10^(1/2)，k值会不同，但方法一致）

再把x=√e代入kx²=1/2：
k*(√e)² = 1/2 → k*e = 1/2 → k = 1/(2e)

所以当**k=1/(2e)**时，方程仅有一个解；当0<k<1/(2e)时有两个解，k>1/(2e)时无解。

总结 #

方程kx² = log(x)仅有一个解的k的取值范围是：

• 所有小于0的实数，即k < 0
• k=0
• k=1/(2e)（自然对数情况下；如果是常用对数，对应k=1/(2*ln10)）

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user534507