理论T的Fraïssé极限L中(0-)可定义元素的技术问询

你的推测真的很准！结合L的超齐次性、局部有限性以及它作为T的模型完备化的性质，我们可以明确：L中的0-可定义元素恰好就是所有由闭项表示的元素，不存在其他额外的0-可定义元素。下面具体说说为什么：

超齐次性的核心约束 #

超齐次结构最关键的特点是：任意两个有限子结构之间的同构，都能延拓成全结构的自同构。对于0-可定义元素来说，它必须满足一个硬性条件——在L的所有自同构下都保持不动。

假设存在一个不是闭项表示的0-可定义元素a，根据L的局部有限性，a必然属于某个有限子结构A。因为L是Fraïssé极限，它满足嵌入稠密性（K中所有有限结构都能嵌入L）和联合嵌入性。我们可以找到另一个和A同构的有限结构A'，其中对应a的位置的元素b不是闭项（闭项在有限模型中的表达是一致的，而K中的有限模型不会出现额外的“非闭项可定义”元素）。

这时，超齐次性允许我们把A到A'的同构延拓成L的一个自同构σ，使得σ(a)=b。但这就和a是0-可定义的矛盾了——毕竟0-可定义元素不能被自同构映射到另一个元素。所以这样的a不可能存在。

非一致局部有限性不影响结论 #

你提到L是非一致局部有限的，意思是不存在统一的自然数n，让所有有限生成子结构的大小都不超过n。不过这个性质并不会推翻上面的结论：它只是说明有限生成子结构的大小可以任意大，但每个元素依然被某个有限子结构包含，而我们的论证只需要这一点，和子结构的大小有没有上界无关。

模型完备化的辅助佐证 #

L是T的模型完备化，意味着L是模型完全的——任何嵌入L的与L初等等价的模型，都是初等嵌入。这个性质保证了L的可定义性不会超出T的有限模型能表达的范围：闭项是所有T的有限模型都能一致表示的元素，而如果存在非闭项的0-可定义元素，在T的某些有限模型里根本找不到对应的元素，这就和模型完备化的性质冲突了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Pteromys