整数a、b需满足何种条件可使给定分数之和为最简形式？

咱们一步步拆解每个分数和的最简条件，核心思路是先把分数通分合并，再要求分子和分母的最大公约数为1——毕竟最简分数的定义就是分子分母互质嘛。

情况1：$a/3 + b/6$ #

先通分合并：
$$\frac{a}{3} + \frac{b}{6} = \frac{2a + b}{6}$$
要这个分数是最简分数，就需要分子$2a + b$和分母6互质，也就是$\gcd(2a + b, 6) = 1$。6的质因数是2和3，所以分子不能被2或3整除：

• 不能被2整除：$2a$是偶数，偶数加b要得到奇数，b必须是奇数（偶+奇=奇）；
• 不能被3整除：$2a + b \not\equiv 0 \pmod{3}$。因为$2 \equiv -1 \pmod{3}$，所以$2a \equiv -a \pmod{3}$，代入得$-a + b \not\equiv 0 \pmod{3}$，也就是$b \not\equiv a \pmod{3}$。

总结情况1的必要条件：

• b是奇数；
• $b$和$a$模3不同余（即$b \not\equiv a \pmod{3}$）。

情况2：$a/20 + b/12$ #

通分合并后：
$$\frac{a}{20} + \frac{b}{12} = \frac{3a + 5b}{60}$$
分母60的质因数是2、3、5，所以分子$3a + 5b$不能被这三个数整除：

• 不能被2整除：3a的奇偶性和a一致，5b的奇偶性和b一致，奇数+偶数=奇数、偶数+奇数=奇数，所以a和b必须一奇一偶；
• 不能被3整除：$3a \equiv 0 \pmod{3}$，所以$5b \equiv 2b \pmod{3}$，要$2b \not\equiv 0 \pmod{3}$，即$b \not\equiv 0 \pmod{3}$；
• 不能被5整除：$5b \equiv 0 \pmod{5}$，所以$3a \not\equiv 0 \pmod{5}$，即$a \not\equiv 0 \pmod{5}$。

总结情况2的必要条件：

• a和b一奇一偶；
• $b$不是3的倍数；
• $a$不是5的倍数。

情况3：$a/10 + b/12$ #

通分合并：
$$\frac{a}{10} + \frac{b}{12} = \frac{6a + 5b}{60}$$
同样分母是60，要求分子$6a + 5b$与60互质：

• 不能被2整除：6a是偶数，5b的奇偶性和b一致，偶数加b要为奇数，b必须是奇数；
• 不能被3整除：$6a \equiv 0 \pmod{3}$，$5b \equiv 2b \pmod{3}$，所以$2b \not\equiv 0 \pmod{3}$，即$b \not\equiv 0 \pmod{3}$；
• 不能被5整除：$5b \equiv 0 \pmod{5}$，$6a \equiv a \pmod{5}$，所以$a \not\equiv 0 \pmod{5}$。

总结情况3的必要条件：

• b是奇数；
• $b$不是3的倍数；
• $a$不是5的倍数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Gerard L.