依赖选择公理如何推导出这一较弱变体？

没问题，咱们一步步拆解怎么用依赖选择公理（DC）推导出这个较弱的定理变体。先把核心的定义和目标理清楚：

先明确核心设定 #

待证的定理1 #

给定非空集合$A\neq\varnothing$，映射$\varphi:A\to P(A )\setminus {\varnothing}$，以及$\bar{a}\in A$，则存在序列$(a_{n}){n\in \mathbb{N}}$满足$a{0}=\bar{a}$且对所有$n\in \mathbb{N}$，有$a_{n+1}\in \varphi(a_{n})$。

依赖选择公理（DC）的标准表述 #

先把原问题里没写完的DC补全（这是推导的核心依据）：

给定非空集合$X$，以及$X$上的二元关系$R$，如果对每个$x\in X$，都存在至少一个$y\in X$使得$xRy$（即$R$是“全后继”关系），那么对任意指定的初始元$x_0\in X$，都存在序列$(x_n){n\in\mathbb{N}}$满足$x_0$是初始项，且对所有$n\in\mathbb{N}$，都有$x_n R x{n+1}$。

具体推导步骤 #

其实就是把定理1的场景“翻译”成DC要求的框架：

1. 构造符合DC要求的二元关系
   我们在集合$A$上定义一个二元关系$R$：对任意$x,y\in A$，$xRy$当且仅当$y\in\varphi(x)$。
   因为$\varphi$的取值是$P(A)\setminus{\varnothing}$——也就是说每个$x\in A$对应的$\varphi(x)$都是非空子集，所以对每个$x\in A$，一定存在$y\in A$使得$xRy$，这完美满足了DC中“关系$R$是全后继”的前提条件。

2. 直接套用依赖选择公理
   我们指定初始元为$\bar{a}$（也就是定理里的$a_0$），根据DC的结论，必然存在序列$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$：

   • 初始项$a_0 = \bar{a}$；
   • 对所有$n\in\mathbb{N}$，$a_n R a_{n+1}$，而根据$R$的定义，这就等价于$a_{n+1}\in\varphi(a_n)$。

这就完全符合定理1的结论了——本质上就是把“每个元素对应非空子集”的条件转化为DC能直接作用的“后继关系”，套入公理即可完成推导。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Akira