黑体辐射的经典法拉第张量/应力-能量张量计算方法问询

嘿，这个问题我太能共情了——看着瞬时场的统计平均为零，确实会让人一下子找不到着手点。咱们把这个问题拆解开，一步步来理清楚：

虽然瞬时电磁场（法拉第张量F^{μν}）的统计平均值为零，但应力-能量张量是法拉第张量的二次项组合，它的统计平均可不是零！这才是我们要计算的核心——宏观上有意义的是⟨T^{μν}⟩，也就是对所有黑体辐射的光子态求平均后的应力-能量张量。

先把电磁学里的应力-能量张量摆出来，方便后续推导：

T^{μν} = \frac{1}{\mu_0} \left( F^{μα} F^ν_{\ \ α} - \frac{1}{4} g^{μν} F^{αβ} F_{αβ} \right)

这里g^{μν}是度规张量，在平直时空或者宇宙学常用的FRW度规下，我们可以利用各向同性的对称性大幅简化计算。

因为黑体辐射是各向同性的，任何方向的辐射特性都一致，所以很多张量分量会因为对称性相互抵消：

• 能流密度分量⟨T^{0i}⟩（i=1,2,3）：各个方向的能流相互抵消，平均值为零；
• 切向应力分量⟨T^{ij}⟩（i≠j）：同理，不同方向的切向动量流相互抵消，平均值为零；
• 最后只剩下两个独立的宏观量：能量密度⟨T^{00}⟩和各向同性的压强⟨T^{ii}⟩（三个空间对角分量相等）。

接下来就是把统计分布和宏观量挂钩：

• 能量密度直接用斯特藩-玻尔兹曼定律：⟨T^{00}⟩ = ρ = σ T^4，其中σ是斯特藩常数，T是黑体温度；
• 压强和能量密度的关系是p = ρ/3——这个结果来自于对光子动量方向的积分：每个空间方向的动量流贡献了压强的1/3，三个方向平均后就得到这个比例。

如果你确实想从法拉第张量入手，那可以从单个光子的平面电磁波出发：单个光子的法拉第张量分量和它的动量方向、偏振态相关。然后对所有光子的动量（各向同性分布）和能量（普朗克黑体分布）做积分求平均。不过要注意，偏振态的平均会让很多交叉项抵消，最终得到的二次项平均结果还是会回到我们上面提到的应力-能量张量分量——这也说明，宏观上我们其实不需要纠结瞬时的法拉第张量，直接用平均后的应力-能量张量就足够了。

在宇宙学中，我们通常直接把辐射当成理想流体来处理，直接代入ρ和p=ρ/3到爱因斯坦场方程里。这是因为宇宙学尺度关注的是宏观平均效应，微观的电磁场波动完全可以被统计平均抹平，不需要额外考虑。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者R. Rankin