递归序列归纳法与斐波那契数列：平方和等式归纳证明求助

先明确已知的斐波那契数列定义：

• $F_0 = 0$
• $F_1 = 1$
• 当 $n ≥ 2$ 时，$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$

我们要证明的结论是：对所有整数 $n ≥ 0$，$\sum_{i=0}^n (F_i)^2 = F_n F_{n+1}$

基础步骤 #

你已经完成这部分啦：当 $n=0$ 时，左侧是 $(F_0)^2 = 0^2 = 0$，右侧是 $F_0 F_1 = 0×1 = 0$，左右两边相等，等式成立。

归纳步骤 #

归纳假设 #

咱们先假设对于任意整数 $k ≥ 0$，这个等式是成立的，也就是：
$$\sum_{i=0}^k (F_i)^2 = F_k F_{k+1}$$

推导 $n=k+1$ 的情况 #

接下来要证明当 $n=k+1$ 时，$\sum_{i=0}^{k+1} (F_i)^2 = F_{k+1} F_{k+2}$。咱们一步步拆解开看：

1. 先把左边的求和式展开，它等于前k项的平方和加上第k+1项的平方：
   $$\sum_{i=0}^{k+1} (F_i)^2 = \sum_{i=0}^k (F_i)^2 + (F_{k+1})^2$$

2. 把归纳假设里的结论代入进去，也就是把$\sum_{i=0}^k (F_i)^2$替换成$F_k F_{k+1}$，这样式子就变成：
   $$\sum_{i=0}^{k+1} (F_i)^2 = F_k F_{k+1} + (F_{k+1})^2$$

3. 这时候我们可以提取公因式$F_{k+1}$，得到：
   $$\sum_{i=0}^{k+1} (F_i)^2 = F_{k+1} (F_k + F_{k+1})$$

4. 关键的一步来了！根据斐波那契数列的递归定义，当$n=k+2$时，$F_{k+2} = F_{k+1} + F_k$，所以括号里的$F_k + F_{k+1}$其实就是$F_{k+2}$。把这个替换进去，式子就变成：
   $$\sum_{i=0}^{k+1} (F_i)^2 = F_{k+1} F_{k+2}$$

这样就正好证明了当$n=k+1$时等式也成立。

归纳结论 #

既然基础步骤成立，而且只要$n=k$时等式成立，$n=k+1$时也一定成立，那根据数学归纳法的原理，这个平方和公式对所有整数$n ≥ 0$都成立啦！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者MicheleLS