如何求解半径1.6的圆的外切等腰直角三角形？

没问题，我来一步步给你拆解这个问题的解法～

首先咱们先明确核心概念：你要找的是三边都与半径1.6的圆相切的等腰直角三角形，换句话说，这个圆就是该等腰直角三角形的内切圆，我们要做的就是从内切圆半径反推出三角形的各边长度。

推导过程 #

设这个等腰直角三角形的两条直角边长度为a，斜边长度为c。根据等腰直角三角形的性质，斜边c = a√2。

接下来用三角形内切圆的通用公式：内切圆半径r = S/p，其中：

• S是三角形的面积
• p是三角形的半周长（周长的一半）

1. 计算三角形面积S：
   等腰直角三角形面积S = (a × a)/2 = a²/2

2. 计算半周长p：
   周长为a + a + c = 2a + a√2，所以半周长p = (2a + a√2)/2 = a(2 + √2)/2

3. 代入内切圆半径公式推导r与a的关系：
   将S和p代入公式r = S/p：

   r = (a²/2) ÷ [a(2 + √2)/2] = a/(2 + √2)
   

   对分母有理化（乘以(2 - √2)/(2 - √2)）：

   r = a(2 - √2)/[(2 + √2)(2 - √2)] = a(2 - √2)/2
   

4. 代入r=1.6求解边长：
   整理公式得到直角边a的表达式：

   a = 2r/(2 - √2)
   

   代入r=1.6，同时√2≈1.4142，计算得：
   a ≈ 2×1.6/(2 - 1.4142) ≈ 3.2/0.5858 ≈ 5.46
   斜边c = a√2 ≈ 5.46×1.4142 ≈ 7.73

验证结果 #

我们可以反过来验证：该三角形面积S≈(5.46)²/2≈14.9，半周长p≈(5.46×2 + 7.73)/2≈9.325，内切圆半径r≈14.9/9.325≈1.6，完全符合题目要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user534334