幂零线性变换相关结论的证明难点及习题求解咨询

首先，你的反证法思路完全正确，咱们顺着这个逻辑往下走，就能推出矛盾，完成证明。

已知条件回顾 #

• $V$是域$F$上的非零有限维向量空间，$T: V\to V$是线性变换
• 存在自然数$n>1$，满足$T^{n=0$（$T$是幂零变换），但$T}{n-1}\neq 0$

反证法假设 #

假设不存在这样的非零向量$v\in V$，使得${v, T(v), T^2(v), \ldots, T^{n-1}(v)}$在$F$上线性无关。换句话说：对任意非零向量$v\in V$，集合${v, T(v), \ldots, T^{n-1}(v)}$都是线性相关的。

推导矛盾 #

1. 由$T^{n-1}\neq 0$可知，必然存在某个非零向量$u\in V$，使得$T^{n-1}(u)\neq 0$（如果所有向量经过$T^{{n-1}$作用后都是0，那$T}{n-1}$就是零变换，和已知条件矛盾）。
2. 根据反证假设，${u, T(u), \ldots, T^{n-1}(u)}$线性相关，因此存在不全为零的系数$a_0, a_1, \dots, a_{n-1}\in F$，使得：
   $$a_0u + a_1T(u) + a_2T^2(u) + \dots + a_{n-1}T^{n-1}(u) = 0$$
3. 找到上述系数中下标最小的非零系数，设为$a_k$（即$a_0=a_1=\dots=a_{k-1}=0$，$a_k\neq 0$，$0\leq k\leq n-1$），此时等式简化为：
   $$a_kT^k(u) + a_{k+1}T^{k+1}(u) + \dots + a_{n-1}T^{n-1}(u) = 0$$
4. 对这个等式两边同时作用线性变换$T^{n-1 - k}$：
   • 左边第一项：$T^{n-1 - k}(a_kT^k(u)) = a_kT^{n-1}(u)$
   • 左边其余项：对于$m\geq k+1$，$T^{n-1 - k}(a_mT^m(u)) = a_mT^{n-1 + (m - k)}(u)$，由于$m - k\geq1$，所以$n-1+(m-k)\geq n$，而$T^n=0$，因此这些项全部为0。
5. 最终得到等式：$a_kT^{n-1}(u) = 0$。但$a_k\neq 0$且$T^{n-1}(u)\neq 0$，在域$F$中，非零元素与非零向量的乘积不可能为零向量，这就产生了矛盾。

结论 #

反证假设不成立，因此必然存在非零向量$v\in V$，使得${v, T(v), T^2(v), \ldots, T^{n-1}(v)}$在域$F$上线性无关。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者mathscrazy