局部环上模张量积为零的另一种证明思路（Atiyah-McDonald习题2.3）

嘿，关于Atiyah-McDonald这本经典交换代数教材里的习题2.3，其实已经有不少成熟完善的解答了～不过我最近琢磨出一个稍微不一样的推导思路，想跟大家唠唠：

先明确题目条件：设$R$是带有极大理想$P$的局部环，$M$、$N$是两个$R$-模，记剩余域$k=R/P$，已知$M\otimes_R N=0$，我们可以通过张量积的结合律与交换律来展开推导：

$$(M\otimes_R k)\otimes_R(N\otimes_R k)\cong M\otimes_R(k\otimes_R(N\otimes_R k))$$
$$\cong M\otimes_R(k\otimes_R(k\otimes_R N))$$
$$\cong M\otimes_R((k\otimes_Rk)\otimes_R N)$$
$$\cong M\otimes_R( N\otimes_R(k\otimes_Rk))$$
$$\cong M\otimes_R( N\otimes_R k)$$
$$\cong (M\otimes_R N)\otimes_R k$$

因为题目里已经给出$M\otimes_R N=0$，所以右边的结果就是$0\otimes_R k=0$。而注意到$k$作为$R$-模满足$k\otimes_R k\cong k$，所以左边其实等价于$(M\otimes_R k)\otimes_k (N\otimes_R k)$——域上的张量积为0的话，必然其中一个因子是0，也就是$M\otimes_R k=0$或者$N\otimes_R k=0$。再结合局部环上的Nakayama引理，就能直接推出$M=0$或者$N=0$啦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者learning_math