具有周期系数的两类种群线性ODE系统特征指数与周期解问题

让我们一步步拆解这个周期系数的线性种群系统问题：

给定线性系统：
$$
\begin{align*}
x_1' &= -vx_1 + a(t)x_1, \
x_2' &= -vx_2 + ka(t)x_1,
\end{align*}
$$
其中$a(t+T)=a(t)$对所有$t$成立，$v$和$k$为正常数。我们需要求解系统的特征指数，并证明存在周期为$T$的周期解当且仅当$\int_0^T a(t)dt = vT$。

第一步：求解$x_1(t)$的通解 #

先看第一个方程，它是可分离变量的一阶线性常微分方程：
$$
x_1' = (-v + a(t))x_1
$$
分离变量后积分，可得通解：
$$
x_1(t) = C_1 e^{\int_0t (-v + a(\xi))d\xi}
$$
其中$C_1 \in \mathbb{R}$是任意常数。把指数部分拆分后更清晰：
$$
x_1(t) = C_1 e^{-vt} e^{\int_0t a(\xi)d\xi}
$$

第二步：求解$x_2(t)$的通解 #

把$x_1(t)$代入第二个方程，得到一阶线性非齐次常微分方程：
$$
x_2' + vx_2 = k a(t) C_1 e^{\int_0t (-v + a(\xi))d\xi}
$$
用积分因子法求解：积分因子为$e^{\int v dt} = e^{vt}$，两边乘积分因子后左边是乘积的导数：
$$
\frac{d}{dt}\left( x_2(t) e^{vt} \right) = k C_1 a(t) e^{\int_0t a(\xi)d\xi}
$$
对两边从$0$到$t$积分，整理后得到$x_2(t)$的通解：
$$
x_2(t) = C_2 e^{-vt} + k C_1 e^{-vt} \int_0^t a(s) e^{\int_0s a(\xi)d\xi} ds
$$
其中$C_2 \in \mathbb{R}$是任意常数。

第三步：计算系统的特征指数 #

对于周期系数线性系统$\dot{\mathbf{x}} = A(t)\mathbf{x}$（$A(t+T)=A(t)$），特征指数$\mu$满足单值矩阵$X(T)$的特征值为$e^{\mu T}$（$X(t)$是系统的基解矩阵）。

我们构造基解矩阵：

• 取$C_1=1, C_2=0$，得到第一个解向量：
  $$
  \mathbf{x}_1(t) = \left( e^{\int_0t (-v + a(\xi))d\xi}, \ k e^{-vt} \int_0^t a(s) e^{\int_0s a(\xi)d\xi} ds \right)^T
  $$
• 取$C_1=0, C_2=1$，得到第二个解向量：
  $$
  \mathbf{x}_2(t) = \left( 0, \ e^{-vt} \right)^T
  $$

计算基解矩阵在$t=T$处的特征值：

1. 对应$\mathbf{x}_2(T)$的特征值为$e^{-vT}$，特征指数$\mu_2 = -v$；
2. 对应$\mathbf{x}_1(T)$的特征值为$e^{\int_0T (-v + a(\xi))d\xi} = e^{-vT + \int_0^T a(\xi)d\xi}$，特征指数$\mu_1 = \frac{1}{T}\left( \int_0^T a(\xi)d\xi - vT \right)$。

第四步：证明周期解存在的等价条件 #

周期为$T$的周期解存在，当且仅当系统有一个特征值为$1$的单值矩阵特征值（即$e^{\mu T}=1$）。

分析两个特征值：

• 对于$\mu_2=-v$，$e^{\mu_2 T}=e^{-vT} < 1$（$v>0$），不可能等于1，因此这个方向无周期解；
• 对于$\mu_1$，要让$e^{\mu_1 T}=1$，必须指数部分为0：
  $$
  \int_0^T a(\xi)d\xi - vT = 0 \iff \int_0^T a(t)dt = vT
  $$

当该条件满足时，$\mathbf{x}_1(t)$是周期为$T$的解：此时$x_1(t+T)=x_1(t)$，代入$x_2(t)$的表达式可验证$x_2(t+T)=x_2(t)$（利用$a(t)$的周期性拆分积分区间即可推导）。

反过来，若存在非零周期解，它只能是$\mathbf{x}_1(t)$的线性组合（$\mathbf{x}_2(t)$显然不是周期解），这必然要求$\int_0^T a(t)dt = vT$。

综上，存在周期为$T$的周期解当且仅当$\int_0^T a(t)dt = vT$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dragonite