计算由$x^2+y^2\leq 4x$与$|z|\leq x^2+y^2$围成的几何体体积

我来一步步拆解这个问题，帮你搞定体积计算：

第一步：分析区域的对称性 #

先梳理给定的两个不等式：

1. 第一个不等式$x^2+y2\leq 4x$，整理后是$(x-2)^2+y2\leq 4$，这是平面xy上以(2,0)为圆心、半径2的圆。
2. 第二个不等式$|z|\leq x^2+y2$，展开后为$-(x^2+y2)\leq z\leq x^2+y2$，显然这个几何体关于xy平面对称——上半部分（$z\geq0$）和下半部分（$z\leq0$）完全镜像。

所以我们可以先计算上半部分（$0\leq z\leq x^2+y2$）的体积，最后再乘以2得到总体积，能大幅简化计算量。

第二步：用极坐标转换计算积分 #

由于xy平面的区域是圆形，用极坐标计算会比直角坐标高效得多。先把第一个不等式转换成极坐标形式：

• 极坐标下$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$x^2+y2=r^2$
• 代入$x^2+y2\leq4x$，得到$r^2\leq4r\cos\theta$，化简后为$r\leq4\cos\theta$（因为$r\geq0$，所以$\cos\theta\geq0$，即$\theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$）

上半部分的体积是二重积分：$V_{上}=\iint_{D} (x^2+y2) dxdy$，其中D是$(x-2)^2+y2\leq4$的区域。转换成极坐标后：
$$
V_{上}=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_{0}^{4\cos\theta} r^2 \cdot r dr
$$
先计算内层积分：
$$
\int_{0}^{4\cos\theta} r^3 dr = \left[\frac{1}{4}r^4\right]_0{4\cos\theta} = \frac{1}{4}(4\cos\theta)^4 = 64\cos^4\theta
$$
再计算外层积分：
$$
V_{上}=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{{\frac{\pi}{2}}64\cos}4\theta d\theta = 128\int_{0}^{{\frac{\pi}{2}}\cos}4\theta d\theta
$$
利用三角函数的偶性和积分公式$\int_{0}^{{\frac{\pi}{2}}\cos}n\theta d\theta=\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot\frac{\pi}{2}$（n为偶数），这里n=4：
$$
\int_{0}^{{\frac{\pi}{2}}\cos}4\theta d\theta=\frac{3!!}{4!!}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{3\times1}{4\times2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{16}
$$
代入后得到$V_{上}=128\times\frac{3\pi}{16}=24\pi$

第三步：计算总体积 #

因为上下部分对称，总体积$V=2\times V_{上}=2\times24\pi=48\pi$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Parseval