独立均匀分布随机变量|X-Y|的期望求解咨询

嘿，我看到你在计算这个期望时遇到了点阻碍，先给你纠正一个关键问题：你推导的公式 $\Ex[|X−Y|] = \Pr[X \ge Y] \cdot (\Ex[X] - \Ex[Y]) + \Pr[Y > X] \cdot (\Ex[Y] - \Ex[X])$ 是不正确的。原因是 $\Ex[(X-Y)I(X \ge Y)]$ 不等于 $\Pr[X \ge Y] \cdot (\Ex[X] - \Ex[Y])$——当我们限定 $X \ge Y$ 时，X和Y的条件期望和它们的边缘期望是不一样的，不能直接这样拆分。

咱们换个更直接的思路来解决这个问题，分步骤来：

第一步：计算 $\Pr[X \ge Y]$、$\Pr[Y > X]$ 和 $\Pr[X=Y]$ #

因为X和Y是独立同分布的均匀随机变量，取值范围都是 ${1,2,...,n}$，所以它们的分布是对称的：

• $\Pr[X > Y] = \Pr[Y > X]$，这个对称性很重要
• $\Pr[X = Y]$ 可以直接计算：对于每个k从1到n，$\Pr(X=k,Y=k) = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^2}$，总共有n个这样的情况，所以 $\Pr[X=Y] = n \cdot \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n}$

根据概率的完备性：$\Pr[X > Y] + \Pr[Y > X] + \Pr[X=Y] = 1$，代入对称关系和$\Pr[X=Y]$的值，可得：
$$\Pr[X > Y] = \Pr[Y > X] = \frac{1 - \frac{1}{n}}{2} = \frac{n-1}{2n}$$
而 $\Pr[X \ge Y] = \Pr[X > Y] + \Pr[X=Y] = \frac{n-1}{2n} + \frac{1}{n} = \frac{n+1}{2n}$

不过，知道这些概率还不够，因为原公式的拆分逻辑有误，咱们直接用离散随机变量期望的定义来计算会更准确。

第二步：直接用期望定义计算 $\Ex[|X-Y|]$ #

对于离散随机变量，期望的定义是：
$$\Ex[|X-Y|] = \sum_{x=1}^n \sum_{y=1}^n |x-y| \cdot \Pr(X=x,Y=y)$$
因为X和Y独立，所以 $\Pr(X=x,Y=y) = \Pr(X=x)\Pr(Y=y) = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^2}$，代入后得：
$$\Ex[|X-Y|] = \frac{1}{n^2} \sum_{x=1}^n \sum_{y=1}^n |x-y|$$

计算双重求和 $\sum_{x=1}^n \sum_{y=1}^n |x-y|$ #

利用对称性，我们可以把求和拆成 $x \ge y$ 和 $x < y$ 两部分，这两部分的和是相等的，所以：
$$\sum_{x=1}^n \sum_{y=1}^n |x-y| = 2 \sum_{x=1}^n \sum_{y=1}^{x-1} (x-y)$$

先计算内层求和 $\sum_{y=1}^{x-1} (x-y)$：令 $k = x - y$，当y从1到x-1时，k从x-1到1，所以这个求和等价于 $\sum_{k=1}^{x-1} k = \frac{x(x-1)}{2}$

然后计算外层求和：
$$\sum_{x=1}^n \frac{x(x-1)}{2} = \frac{1}{2} \sum_{x=1}^n (x^2 - x)$$

我们用已知的求和公式：

• $\sum_{x=1}^n x = \frac{n(n+1)}{2}$
• $\sum_{x=1}^n x^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

代入后：
$$\frac{1}{2} \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} \right) = \frac{1}{2} \cdot n(n+1) \cdot \frac{(2n+1) - 3}{6} = \frac{n(n+1)(n-1)}{6} = \frac{n(n^2 - 1)}{6}$$

再乘以2（因为之前拆分了对称的两部分），得到总求和：
$$2 \cdot \frac{n(n^2 - 1)}{6} = \frac{n(n^2 - 1)}{3}$$

最终期望计算 #

把总求和代入期望公式：
$$\Ex[|X-Y|] = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{n(n^2 - 1)}{3} = \frac{n^2 - 1}{3n} = \frac{n}{3} - \frac{1}{3n}$$

验证小例子 #

我们可以用小的n值验证结果是否正确：

• 当n=1时，$\Ex[|X-Y|] = 0$，代入公式得 $\frac{1-1}{3*1}=0$，正确
• 当n=2时，所有可能的|x-y|值为0,1,1,0，平均为0.5，公式得 $\frac{4-1}{3*2}=0.5$，正确
• 当n=3时，所有|x-y|的和为8，平均为$\frac{8}{9}$，公式得 $\frac{9-1}{3*3}=\frac{8}{9}$，正确

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Tom