分段线性函数各段斜率有界时任意两点连线斜率的有界性证明

假设 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 是分段线性函数，即存在区间 $I=[a,b]$ 的一个划分：
$$a:=t_0<t_1<\cdots<t_n:=b$$
使得在每个子区间 $I_i:=[t_{i-1},t_i]$ 上，$f$ 的图像是直线段 $\ell_i$。记 $\ell_i$ 的斜率绝对值为 $m_i$，已知存在 $M>0$，对所有 $i$ 都有 $m_i\leq M$。

我们需要证明：对任意 $x,y\in I$ 且 $x\neq y$，有
$$\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|\leq M$$

证明过程 #

我们分两种情况来讨论：

情况1：$x$ 和 $y$ 属于同一个子区间 $I_i$

这时候 $f$ 在 $I_i$ 上是严格线性的，$\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$ 就是直线段 $\ell_i$ 的斜率，根据已知条件它的绝对值 $m_i\leq M$，显然满足结论。

情况2：$x$ 和 $y$ 属于不同的子区间

不妨设 $x\in I_k=[t_{k-1},t_k]$，$y\in I_j=[t_{j-1},t_j]$，且 $k<j$（若 $x>y$，推导逻辑完全一致）。我们把函数差值拆分成相邻分点的累加形式：
$$f(y)-f(x) = [f(t_k)-f(x)] + [f(t_{k+1})-f(t_k)] + \cdots + [f(y)-f(t_{j-1})]$$
对应的自变量差值也可以拆分为：
$$y-x = (t_k - x) + (t_{k+1}-t_k) + \cdots + (y - t_{j-1})$$

对函数差值应用绝对值三角不等式：
$$|f(y)-f(x)| \leq |f(t_k)-f(x)| + |f(t_{k+1})-f(t_k)| + \cdots + |f(y)-f(t_{j-1})|$$

根据已知条件，每个分段的斜率绝对值不超过 $M$，因此：

• $|f(t_k)-f(x)| \leq M(t_k - x)$
• 对中间分点项，$|f(t_i)-f(t_{i-1})| = m_i(t_i - t_{i-1}) \leq M(t_i - t_{i-1})$
• $|f(y)-f(t_{j-1})| \leq M(y - t_{j-1})$

把这些不等式代入绝对值三角不等式的右边：
$$|f(y)-f(x)| \leq M(t_k - x) + M(t_{k+1}-t_k) + \cdots + M(y - t_{j-1}) = M(y - x)$$

两边同时除以 $|y-x|$（因 $x\neq y$，分母不为0），即可得到：
$$\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right| = \frac{|f(y)-f(x)|}{|y-x|} \leq M$$

两种情况均满足结论，因此原命题得证。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Hopf eccentric