满足A³=O的n阶方阵，求证I+A可逆及相关疑问

嘿，这个问题的核心是利用幂零矩阵的性质和代数因式分解的思路来构造逆矩阵，我来一步步拆解清楚：

核心构造法：直接找到(I+A)的逆矩阵 #

要证明一个矩阵可逆，最直接的方式就是找到另一个矩阵，使得它们的乘积等于单位矩阵(I)。这里我们可以类比代数里的立方差公式：

(1 - x^3 = (1 + x)(1 - x + x^2))

把这个公式推广到矩阵乘法（注意单位矩阵(I)和任意矩阵可交换，矩阵乘法满足分配律），就能得到对应的矩阵等式：
[
I - A^3 = (I + A)(I - A + A^2)
]

已知(A^3 = O)（零矩阵），代入上式后右边就变成了(I - O = I)，也就是：
[
(I + A)(I - A + A^2) = I
]

这就直接证明了(I + A)可逆，它的逆矩阵就是(I - A + A^2)。你甚至可以手动计算一下两者的乘积，验证结果确实是单位矩阵。

解答你的困惑点 #

• 为什么不需要(A)是零矩阵？
  只要(A)是幂零矩阵（即存在某个正整数(k)，使得(A^k = O)），(I + A)就可逆，不管(A)本身是不是零矩阵。比如举个具体例子：
  [
  A = \begin{pmatrix}0&1&0\0&0&1\0&0&0\end{pmatrix}
  ]
  这个矩阵的三次方是零矩阵，但(A)本身不是零矩阵，计算(I+A)和(I - A + A^2)的乘积，结果确实是单位矩阵。

• 有没有相关定理？
  这是幂零矩阵的一个基本性质：对于幂零矩阵(A)（(A^k=O)），(I \pm A)都是可逆的。更一般的结论是：

  • ((I - A))的逆矩阵是(I + A + A^2 + ... + A^{k-1})
  • ((I + A))的逆矩阵是(I - A + A^2 - ... + (-1)^{k-1}A{k-1})
    你的问题里(k=3)，正好对应第二个式子的情况。

补充：用特征值角度辅助理解（可选） #

幂零矩阵的所有特征值都是0，那么(I + A)的特征值就是(1 + 0 = 1)（矩阵(I+A)的特征值等于(I)的特征值加(A)的特征值）。因为所有特征值都不为0，所以(I+A)可逆（n阶矩阵可逆的充要条件是所有特征值非零）。这个角度可以帮你理解为什么可逆，但构造逆矩阵的方法是更直接的构造性证明。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Groot99