寻求函数可导等价条件反向推导的证明提示：可导→$f(x)=f(a)+L(x-a)+s(x)(x-a)$

嘿，这个反向推导其实完全可以从导数的原始定义入手，一点都不复杂，我给你拆解几步：

• 首先，先把函数$f$在$a$点可导的定义摆出来：此时极限 $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a)$ 是存在的，咱们就记这个极限值为$L=f'(a)$。
• 接下来构造一个辅助函数$s(x)$：当$x \neq a$时，令 $s(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L$；至于$x=a$时的取值，其实不影响极限行为，你随便设成0就行。
• 现在做个简单的代数变形：把上面的式子两边乘以$(x-a)$，移项之后就能得到 $f(x) - f(a) = L(x-a) + s(x)(x-a)$，整理一下就是你要的 $f(x) = f(a) + L(x-a) + s(x)(x-a)$。
• 最后验证$s(x)$的极限：根据导数的定义，$\lim_{x \to a} \left( \frac{f(x)-f(a)}{x-a} - L \right) = 0$，这不就直接得出 $\lim_{x \to a} s(x) = 0$ 了嘛！

说白了就是把导数定义里的极限表达式，拆成一个固定的常数项（也就是导数$L$）加上一个趋于0的余项$s(x)$，再通过简单的代数变形就能得到目标等式啦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Matheus Nunes