求圆柱x²+y²<4内参数曲面Φ(ℝ²)的曲面面积

我来帮你一步步完成这个参数曲面的面积计算，咱们从已知条件出发，逐步推导：

1. 给定参数映射与目标 #

我们有参数映射$\Phi: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3$，定义为：
$$\Phi(u,v)=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}u+v\u-v\2uv\end{pmatrix}$$
需要求解该映射的像$\Phi(\mathbb{R}^{2)$位于圆柱$C:x}2+y^2<4$内部的曲面面积。

2. 已求得的雅可比矩阵 #

已经算出$\Phi$的雅可比矩阵及其转置：
$$J(u,v)\Phi=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\ 1&-1\ 2v&2u\end{pmatrix}, \quad J(u,v)\Phi^T=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}& v\ \frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&u\end{pmatrix}$$

3. 计算度量张量$\mathscr{G}(\Phi)$ #

度量张量的定义是雅可比矩阵的转置乘以雅可比矩阵，即$\mathscr{G}(\Phi)=J(u,v)\Phi^T J(u,v)\Phi$。我们直接做矩阵乘法计算：
$$
\begin{align*}
\mathscr{G}(\Phi)&=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}& v\ \frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&u\end{pmatrix} \cdot \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\ 1&-1\ 2v&2u\end{pmatrix} \
&=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}+v\times\frac{2v}{2} & \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times(-\frac{1}{2})+v\times\frac{2u}{2} \
\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}+(-\frac{1}{2})\times\frac{1}{2}+u\times\frac{2v}{2} & \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}+(-\frac{1}{2})\times(-\frac{1}{2})+u\times\frac{2u}{2}
\end{pmatrix} \
&=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}+v^2 & uv \ uv & \frac{1}{2}+u^2\end{pmatrix}
\end{align*}
$$

4. 计算度量张量的行列式 #

接下来计算$\det(\mathscr{G}(\Phi))$，对于2x2矩阵$\begin{pmatrix}a&b\b&c\end{pmatrix}$，行列式为$ac-b^2$：
$$
\begin{align*}
\det(\mathscr{G})&=(\frac{1}{2}+v^{2)(\frac{1}{2}+u}2)-(uv)^2 \
&=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}u^{2+\frac{1}{2}v}2+u^2v2-u^2v2 \
&=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}(u^2+v2)
\end{align*}
$$
曲面面积元素为$\sqrt{\det(\mathscr{G}(\Phi))}du dv$，化简后：
$$\sqrt{\det(\mathscr{G})}=\frac{1}{2}\sqrt{1+2(u^2+v2)}$$

5. 确定参数域范围 #

根据圆柱条件$x^2+y2<4$，代入$x=\frac{u+v}{2}$，$y=\frac{u-v}{2}$：
$$
\left(\frac{u+v}{2}\right)^{2+\left(\frac{u-v}{2}\right)}2<4
$$
展开化简得：
$$\frac{(u^2+2uv+v2)+(u^2-2uv+v2)}{4}<4 \implies \frac{2u^2+2v2}{4}<4 \implies u^2+v2<4$$
所以参数$(u,v)$的取值范围是平面上以原点为圆心、半径2的开圆盘。

6. 计算曲面面积积分 #

我们用极坐标变换简化积分：令$u=r\cos\theta$，$v=r\sin\theta$，其中$r\in(0,2)$，$\theta\in(0,2\pi)$，面积元素$du dv=r dr d\theta$。

积分变为：
$$
\begin{align*}
\text{曲面面积}&=\iint_{u^2+v2<4}\frac{1}{2}\sqrt{1+2(u^2+v2)}du dv \
&=\int_0^{2\pi}\int_02 \frac{1}{2}\sqrt{1+2r^2}\cdot r dr d\theta
\end{align*}
$$

先计算内层积分，令$t=1+2r^2$，则$dt=4r dr$，即$r dr=\frac{dt}{4}$，当$r=0$时$t=1$，$r=2$时$t=9$：
$$
\int_0^2 \frac{1}{2}\sqrt{1+2r^2}\cdot r dr=\frac{1}{2}\int_1^9 \sqrt{t}\cdot\frac{dt}{4}=\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}t^{{3/2}\bigg|_1}9=\frac{1}{12}(27-1)=\frac{13}{6}
$$

再计算外层积分：
$$
\int_0^{2\pi}\frac{13}{6}d\theta=\frac{13}{6}\times2\pi=\frac{13\pi}{3}
$$

所以最终位于圆柱内部的曲面面积为$\frac{13\pi}{3}$。

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