非退化开区间上函数可微性相关性质的证明问询

题目 #

设$I\subset \mathbb{R}$为非退化开区间，$c \in I$，函数$f: I \rightarrow \mathbb{R}$在$c$点可微。求证：若$f'(c)>0$，则存在$\delta>0$，使得$(c-\delta,c+\delta) \subset I$，且对任意$x \in (c-\delta,c)$有$f(x)<f(c)$，对任意$x \in [c,c+\delta)$有$f(x)>f(c)$。

证明思路 #

咱们直接从导数的定义切入推导会更精准，当然你提到的“可微必连续”是对的，但这里用极限保号性直接推导更高效：

• 因为$f$在$c$点可微且$f'(c)>0$，根据导数的极限定义：
  $$f'(c) = \lim_{x \to c} \frac{f(x) - f(c)}{x - c} > 0$$
• 根据极限的保号性：取正数$\epsilon = \frac{f'(c)}{2} > 0$，必然存在$\delta > 0$，使得当$x \in I$且$0 < |x - c| < \delta$时，有
  $$\left| \frac{f(x) - f(c)}{x - c} - f'(c) \right| < \epsilon$$
• 把不等式展开后代入$\epsilon = \frac{f'(c)}{2}$，就能得到：
  $$\frac{f'(c)}{2} < \frac{f(x) - f(c)}{x - c} < \frac{3f'(c)}{2}$$
  左边的$\frac{f'(c)}{2}$是正数，所以分式$\frac{f(x) - f(c)}{x - c}$整体大于0；
• 接下来分两种情况讨论：
  1. 当$x \in (c - \delta, c)$时，$x - c < 0$，要让分式大于0，分子必须小于0，也就是$f(x) - f(c) < 0$，即$f(x) < f(c)$；
  2. 当$x \in (c, c + \delta)$时，$x - c > 0$，分子必须大于0，也就是$f(x) - f(c) > 0$，即$f(x) > f(c)$；
• 最后，因为$I$是开区间，$c \in I$，咱们可以把$\delta$选得足够小，确保$(c - \delta, c + \delta) \subset I$，这样就满足题目的所有条件了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Cody S