平方损失下条件泊松分布参数λ的贝叶斯估计求解

我来一步步帮你拆解这个问题哈：

已知条件梳理 #

• 给定$\Lambda=\lambda$时，观测值$X|\Lambda=\lambda$服从均值为$\lambda$的泊松分布；如果是n个独立观测值的话，$\sum X_i|\Lambda=\lambda$服从参数为$n\lambda$的泊松分布
• $\Lambda$的先验分布$\pi(\lambda)$是伽马分布，概率密度函数为：
  $$\pi(\lambda)=\frac{\lambda^{\tau-1}e{-\frac{\lambda}{\mu}}}{\Gamma(\tau)\mu^\tau}$$
  （这个先验是形状参数为$\tau$、尺度参数为$\mu$的伽马分布，记作$\Lambda \sim Gamma(\tau, \mu)$）

后验分布已知结论 #

题目已经给出，当有n个观测值$\sum x_i$时，$\Lambda|X$的后验分布为：
$$\Lambda|X \sim Gamma\left(\tau+\sum x_i, \left(\frac{1}{\mu} + n\right)^{-1}\right)$$
这里的参数形式是形状参数为$\alpha=\tau+\sum x_i$，尺度参数为$\sigma=\left(\frac{1}{\mu}+n\right)^{-1}$；如果用速率参数表述的话，就是$\beta=\frac{1}{\sigma}=\frac{1}{\mu}+n$

平方损失下的贝叶斯估计推导 #

在平方损失函数$L(\lambda, \hat{\lambda})=(\lambda-\hat{\lambda})^2$下，贝叶斯估计的核心规则是：取后验分布的期望作为估计值，也就是$\hat{\lambda}_{Bayes}=E[\Lambda|X]$

而伽马分布$Gamma(\alpha, \beta)$（形状$\alpha$，速率$\beta$）的期望是$\frac{\alpha}{\beta}$，代入我们的后验参数：

• $\alpha=\tau+\sum x_i$
• $\beta=\frac{1}{\mu}+n$

直接计算期望就能得到贝叶斯估计：
$$
\hat{\lambda}_{Bayes} = \frac{\tau+\sum x_i}{\frac{1}{\mu}+n} = \frac{\mu(\tau+\sum x_i)}{1+n\mu}
$$

如果把式子拆成加权平均的形式，会更直观：
$$
\hat{\lambda}_{Bayes} = \frac{n\mu}{1+n\mu} \cdot \bar{x} + \frac{1}{1+n\mu} \cdot \tau\mu
$$
这里$\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}$是样本均值，$\tau\mu$是先验分布$Gamma(\tau, \mu)$的期望——说白了，这个贝叶斯估计就是样本均值和先验均值的加权组合，权重由样本量n和先验的尺度参数μ共同决定。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者EllipticalInitial