关于定积分拆分等式的两类疑问：周期性要求与公式适配性

先把你提到的两个核心等式列出来：

已知当$a<b<c$时，定积分满足区间可加性：
$$\int_a^cf(x), dx=\int_a^bf(x), dx+\int_b^c f(x), dx\tag 1$$
同时你见到了另一种拆分形式：
$$\int_{\alpha}^{\alpha+T}f(x), dx=\int_\alpha^T f(x), dx+\int_T^{\alpha+T}f(x), dx \tag 2$$

下面逐个解答你的疑问：

疑问1：等式(2)是否要求$f$是以$T$为周期的函数？ #

完全不需要。等式(2)只是单纯的定积分区间拆分操作，和函数的周期性没有任何绑定关系。只要$f(x)$在包含$\alpha$、$T$、$\alpha+T$这三个点的区间上可积，这个等式就成立——哪怕$f(x)$是完全没有周期性的函数，也不影响这个拆分的正确性。

疑问2：等式(2)是否是等式(1)的特例？ #

答案是：它本质上是定积分区间可加性的延伸应用，当$\alpha < T$时是等式(1)的直接特例，当$\alpha > T$时则是通过定积分的基本性质从(1)推导而来。

具体来说：

• 当$\alpha < T$时，显然$\alpha < T < \alpha+T$，完美符合等式(1)里$a<b<c$的条件，直接把$a=\alpha$、$b=T$、$c=\alpha+T$代入(1)就能得到(2)，这时候就是标准的特例。
• 当$\alpha > T$时，虽然$T < \alpha < \alpha+T$，看起来不符合(1)里$a<b<c$的顺序，但我们可以用定积分的另一个基本性质：$\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx$。把(2)右边的$\int_\alpha^T f(x)dx$转换成$-\int_T^\alpha f(x)dx$，那么右边就变成：
  $$-\int_T^\alpha f(x)dx + \int_T^{\alpha+T}f(x)dx = \int_T^{\alpha+T}f(x)dx - \int_T^\alpha f(x)dx$$
  而根据等式(1)的核心逻辑（区间可加性），$\int_T^{\alpha+T}f(x)dx = \int_T^\alpha f(x)dx + \int_\alpha^{{\alpha+T}f(x)dx$，把它代入上式就能得到$\int_\alpha}{\alpha+T}f(x)dx$，也就是左边的结果。

所以不管$\alpha$和$T$的大小关系如何，(2)都是基于(1)的区间可加性推导出来的，只是在$\alpha > T$时多了一步上下限交换的转换。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者JDoeDoe