咨询利用素因数分解求解ℤ₃₆₀中x²≡0 (mod360)的方法

当然可以借助360的素因数分解和中国剩余定理来高效解决这个问题！毕竟360=2³×3²×5，而且这三个素因子的幂次两两互素，刚好可以把原同余方程拆成几个独立的小方程来解，最后再合并结果。

步骤1：拆分原方程 #

根据中国剩余定理，x²≡0 mod 360等价于同时满足以下三个同余方程：

• x²≡0 mod 8（对应素因子2的三次方）
• x²≡0 mod 9（对应素因子3的二次方）
• x²≡0 mod 5（对应素因子5的一次方）

我们逐个分析这三个方程：

方程1：x²≡0 mod 8

要让x的平方能被8整除，我们看x里2的因子数量：假设x=2ᵏ·m（m是奇数），那么x²=2²ᵏ·m²。要让2²ᵏ≥2³，也就是2k≥3，k必须≥2（k是整数）。这意味着x必须是4的倍数，所以方程的解是：
x ≡ 0 mod 4（换成模8的话就是x≡0或4 mod8，本质是一样的）

方程2：x²≡0 mod 9

同样的思路，设x=3ᵏ·m（m和3互素），x²=3²ᵏ·m²。要让3²ᵏ≥3²，即2k≥2，k≥1。也就是x必须是3的倍数，解为：
x ≡ 0 mod 3

方程3：x²≡0 mod 5

设x=5ᵏ·m（m和5互素），x²=5²ᵏ·m²。要让5²ᵏ≥5¹，即2k≥1，k≥1（k是整数）。也就是x必须是5的倍数，解为：
x ≡ 0 mod 5

步骤2：合并所有解 #

现在我们需要找同时满足x≡0 mod4、x≡0 mod3、x≡0 mod5的x。因为4、3、5两两互素，它们的最小公倍数是4×3×5=60，所以x必须是60的倍数。

在ℤ₃₆₀（也就是0到359之间的整数）里，所有60的倍数就是：

• 0, 60, 120, 180, 240, 300

验证一下 #

随便挑一个解试试，比如x=180：180²=32400，32400÷360=90，完美被整除；再看x=300：300²=90000，90000÷360=250，也满足条件。

反过来，如果x不是60的倍数，比如x=30（不是4的倍数），30²=900，900÷360=2.5，显然不行；x=40（不是3的倍数），40²=1600，1600÷360≈4.44，也不满足。

所以结论就是：ℤ₃₆₀中满足x²≡0 mod360的所有元素就是0、60、120、180、240、300这6个数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者C.Math