序列证明求助：递归定义序列的绝对值不等式证明

各位好，我卡在了一道递归序列的证明题上，想请教大家的思路！具体情况如下：

序列定义 #

有两个序列${u_n}$和${v_n}$，递归定义如下：
$$
\begin{cases}
u_0 = 0 \
v_0 = 0
\end{cases}
$$
对任意自然数$n$，满足递推关系：
$$
\begin{cases}
u_{n+1} = \sqrt{3-v_n} \
v_{n+1} = \sqrt{3+u_n}
\end{cases}
$$

已完成的证明：序列的良定性 #

我已经证明了，对所有$n \in \mathbb{N}$，序列的每一项都满足：
$$
\begin{cases}
0 \leq u_n \leq 3 \
0 \leq v_n \leq 3
\end{cases}
$$
这保证了递推式里的平方根都有意义，序列是良定的。

待完成的证明（内容不完整） #

现在我需要证明以下不等式，但后半部分内容缺失了：
$$
\begin{cases}
|u_{n+1}-1| \leq |v_n-2| \
|v_{n+1}-2| \quad \text{（此处内容未完整）}
\end{cases}
$$

希望能得到大家关于这部分证明的提示或者思路！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者QuentinJanuel