耦合线性偏微分方程组的分离转化技术咨询

这里给你一步步演示怎么解耦这组线性偏微分方程，思路就是利用线性算子的消元法——因为方程都是线性常系数的，直接通过算子组合消去其中一个变量，就能得到只含单个变量的方程。

首先先把原方程清晰列出来（令$\varepsilon = 10^{-2}$简化书写）：
$$
\begin{cases}
\partial_{t} q_{0} + \partial_{x} q_{1} - \varepsilon \partial_{x}^{2} q_{0} + \varepsilon \partial_{x}^{2} q_{1} + \frac{1}{2} q_{0} = 0 \quad (1) \
\partial_{t} q_{1} + \partial_{x} q_{0} + \varepsilon \partial_{x}^{2} q_{0} - \varepsilon \partial_{x}^{2} q_{1} + 3 q_{1} = 0 \quad (2)
\end{cases}
$$

步骤1：将方程写成线性算子形式 #

把每个方程整理为“算子作用于$q_0$ + 算子作用于$q_1$ = 0”的形式：

• 方程(1)：$\left(\partial_t - \varepsilon \partial_x^2 + \frac{1}{2}\right)q_0 + \left(\partial_x + \varepsilon \partial_x^2\right)q_1 = 0$
• 方程(2)：$\left(\partial_x + \varepsilon \partial_x^2\right)q_0 + \left(\partial_t - \varepsilon \partial_x^2 + 3\right)q_1 = 0$

为了简化，定义三个算子：

• $A = \partial_t - \varepsilon \partial_x^2 + \frac{1}{2}$
• $B = \partial_x + \varepsilon \partial_x^2$
• $C = \partial_t - \varepsilon \partial_x^2 + 3$

此时方程组可简写为：
$$
\begin{cases}
A q_0 + B q_1 = 0 \
B q_0 + C q_1 = 0
\end{cases}
$$

步骤2：消去$q_1$，得到只含$q_0$的方程 #

我们用算子$C$作用于方程(1)，再用算子$B$作用于方程(2)，然后将两个结果相减：
$$C(A q_0 + B q_1) - B(B q_0 + C q_1) = 0$$

展开后，由于所有算子都是常系数偏微分算子，乘法顺序可交换（即$CB = BC$），所以$CB q_1 - BC q_1 = 0$，剩下的项就是：
$$(CA - B^2) q_0 = 0$$

现在展开计算每个算子的组合：

1. 计算$CA$：
   $$
   \begin{align*}
   CA &= \left(\partial_t - \varepsilon \partial_x^2 + 3\right)\left(\partial_t - \varepsilon \partial_x^2 + \frac{1}{2}\right) \
   &= \partial_t^2 - \varepsilon \partial_t \partial_x^2 + \frac{1}{2}\partial_t - \varepsilon \partial_x^2 \partial_t + \varepsilon^2 \partial_x^4 - \frac{\varepsilon}{2}\partial_x^2 + 3\partial_t - 3\varepsilon \partial_x^2 + \frac{3}{2} \
   &= \partial_t^2 - 2\varepsilon \partial_t \partial_x^2 + \frac{7}{2}\partial_t + \varepsilon^2 \partial_x^4 - \frac{7\varepsilon}{2}\partial_x^2 + \frac{3}{2}
   \end{align*}
   $$
   （注：$\partial_t \partial_x^2 = \partial_x^2 \partial_t$，所以合并了同类项）

2. 计算$B^2$：
   $$
   \begin{align*}
   B^2 &= \left(\partial_x + \varepsilon \partial_x^2\right)2 \
   &= \partial_x^2 + 2\varepsilon \partial_x^3 + \varepsilon^2 \partial_x^4
   \end{align*}
   $$

3. 计算$CA - B^2$，抵消同类项后得到：
   $$
   CA - B^2 = \partial_t^2 - 2\varepsilon \partial_t \partial_x^2 + \frac{7}{2}\partial_t - 2\varepsilon \partial_x^3 - \left(\frac{7\varepsilon}{2} + 1\right)\partial_x^2 + \frac{3}{2}
   $$

把$\varepsilon = 10^{-2}$代回，就得到只含$q_0$的方程$F(q_0)=0$：
$$
\partial_t^2 q_0 - 2\times10^{{-2}\partial_t\partial_x}2 q_0 + \frac{7}{2}\partial_t q_0 - 2\times10^{{-2}\partial_x}3 q_0 - \left(\frac{7}{2}\times10^{-2} + 1\right)\partial_x^2 q_0 + \frac{3}{2}q_0 = 0
$$

步骤3：消去$q_0$，得到只含$q_1$的方程 #

用类似的方法，用算子$A$作用于方程(2)，算子$B$作用于方程(1)，然后相减：
$$A(B q_0 + C q_1) - B(A q_0 + B q_1) = 0$$

同样，由于$AB = BA$，所以$AB q_0 - BA q_0 = 0$，剩下：
$$(AC - B^2) q_1 = 0$$

因为常系数算子乘法可交换，$AC = CA$，所以$AC - B^2$和步骤2中的$CA - B^2$是同一个算子，因此只含$q_1$的方程$G(q_1)=0$形式和$F(q_0)=0$完全一致：
$$
\partial_t^2 q_1 - 2\times10^{{-2}\partial_t\partial_x}2 q_1 + \frac{7}{2}\partial_t q_1 - 2\times10^{{-2}\partial_x}3 q_1 - \left(\frac{7}{2}\times10^{-2} + 1\right)\partial_x^2 q_1 + \frac{3}{2}q_1 = 0
$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者helloworld922