是否存在满足xⁿ≡0 mod(x+n)且x≠n的正整数对(x,n)？

嘿，这个问题挺有意思的！答案是确实存在这样的正整数对，我给你举几个直观的例子，再拆解背后的逻辑：

具体例子 #

• 当x=3，n=6时：x+n=9，xⁿ=3⁶=729，729 ÷ 9 = 81，余数为0，完全满足3⁶ ≡ 0 mod 9，且3≠6。
• 当x=2，n=6时：x+n=8，xⁿ=2⁶=64，64 ÷ 8 = 8，余数为0，满足2⁶ ≡ 0 mod 8，且2≠6。
• 当x=5，n=20时：x+n=25，xⁿ=5²⁰，显然5²⁰是25的倍数，模25余0，且5≠20。

背后的逻辑 #

要满足xⁿ ≡ 0 mod(x+n)，本质是要求x+n是xⁿ的因数。因为xⁿ的所有质因数都和x的质因数完全一致，所以x+n的质因数必须全部包含在x的质因数集合里。

基于这个前提，我们可以构造通用的数对：
假设x的质因数分解为x = p₁^k₁ * p₂^k₂ * ... * p_m^k_m（p₁到p_m是质数，k₁到k_m是正整数），我们令n = x*(t - 1)，其中t是一个由这些质数组成的正整数，且t≠2（避免n=x）。此时：

• x+n = x + x*(t-1) = xt，而xt的质因数全部来自x的质因数
• xⁿ = (x)^(x*(t-1))，其质因数的指数远大于xt中对应质因数的指数，因此xt必然整除xⁿ，也就是xⁿ ≡ 0 mod(x+n)

比如前面的例子x=2，t=4，那么n=2*(4-1)=6，x+n=8=2*4，2⁶的质因数指数是6，远大于8的质因数指数4，自然满足整除条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者zeraoulia rafik