一致连续性与序列极限相关证明问题求助

嘿，你找对方向啦！三角不等式确实是连接一致连续和序列极限的关键桥梁，咱们一步步把这个证明理清楚：

1. 先明确一致连续的核心定义 #

函数$f:(0,1)\to\mathbb{R}$一致连续，等价于：对任意给定的$\varepsilon>0$，总能找到一个$\delta>0$，使得对$(0,1)$内的任意两个点$a,b$，只要$|a - b| < \delta$，就有$|f(a)-f(b)| < \varepsilon$。

这个定义的关键是：$\delta$只依赖于$\varepsilon$，不依赖于区间内的具体点——这是一致连续和普通连续的核心区别，也是咱们能处理两个不同序列的原因。

2. 利用序列趋于0的性质 #

因为$\lim_{n\to\infty}x_n=0$，$\lim_{n\to\infty}y_n=0$，根据序列极限的定义：

• 对于上面找到的$\delta>0$，存在正整数$N_1$，当$n>N_1$时，$|x_n - 0| < \frac{\delta}{2}$；
• 同理，存在正整数$N_2$，当$n>N_2$时，$|y_n - 0| < \frac{\delta}{2}$；

3. 用三角不等式桥接两个序列的距离 #

取$N=\max{N_1,N_2}$，当$n>N$时，上面两个不等式同时成立，此时用三角不等式：
$$|x_n - y_n| \leq |x_n - 0| + |y_n - 0| < \frac{\delta}{2} + \frac{\delta}{2} = \delta$$

4. 结合一致连续定义完成证明 #

因为$|x_n - y_n| < \delta$，满足一致连续定义中的条件，所以必然有：
$$|f(x_n)-f(y_n)| < \varepsilon$$

由于$\varepsilon$是任意给定的正数，这就完全符合极限的定义：
$$\lim_{n\to\infty}(f(x_n)-f(y_n))=0$$

简单来说，就是用序列趋于0的性质让$x_n$和$y_n$都离0足够近，再用三角不等式推出它们彼此之间也足够近，最后用一致连续的性质得到函数值的差可以任意小～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Albert B