正权图中a到b直接距离不大于任意路径距离的证明及引理1推导

嘿，我来把这个证明整理得清晰严谨，用标准的归纳法一步步推导：

引理1 #

若带正权的图满足三角不等式，则两点间的最短距离 (d(a, b)) 不大于从a到b的任意路径的权重。

证明（归纳法） #

我们用数学归纳法来证明这个引理，先定义归纳命题 (P(n))：

对于任意顶点a和b，若p是从a到b的长度为n的路径，则 (d(a, b)) ≤ 路径p的权重。

基础情况（n=1）

当路径长度n=1时，这条路径就是a到b的直接边。显然，两点间的最短距离 (d(a, b)) 不可能严格大于这条直接边的权重——毕竟最短距离的定义就是所有可能路径里权重最小的那个，所以基础情况 (P(1)) 成立。

归纳步骤（假设 (P(k)) 成立，证明 (P(k+1)) 成立）

假设对于所有长度为k的路径，命题 (P(k)) 都成立。现在考虑一条长度为k+1的路径p：它从a出发，先到某个顶点x，再通过一条长度为k的路径到达b（也就是说，路径p可以拆成 (a \to x) 的直接边，加上 (x \to b) 的长度为k的路径）。

根据图的三角不等式性质，我们有：
(d(a, b) \leq d(a, x) + d(x, b))

结合归纳假设，(d(x, b)) 不大于那条长度为k的 (x \to b) 路径的权重；再结合基础情况，(d(a, x)) 不大于直接边 (a \to x) 的权重。把这两个结论合起来，就能得到 (d(a, b)) 不大于路径p的总权重，也就是命题 (P(k+1)) 成立。

由数学归纳法的原理，对于任意正整数n，命题 (P(n)) 都成立，引理得证。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者shiva