如何求解过一圆及另一小圆圆心的圆的半径？思路存疑
嘿，你的思路完全站得住脚，但其实咱们可以不用绕到最小圆的方程那一步，直接利用已知的两个圆心坐标来推导会更高效～我把两种方法都给你理清楚：
一、你的思路为什么可行？
假设已知圆的圆心为 ( O_1(x_1, y_1) )，半径为 ( R_1 )；更小的圆的圆心为 ( O_2(x_2, y_2) )，半径为 ( R_2 )。
你先确定最小圆的方程 (x - x₂)² + (y - y₂)² = R₂²，本质是确认了它的圆心 ( O_2 ) 的坐标——这其实就是把一个已知点（( O_2 )）明确下来，再结合已知圆的圆心 ( O_1 )，这两个点都是目标圆必须经过的点。
接下来你可以设目标圆的方程为 (x - a)² + (y - b)² = r²，把 ( O_1 ) 和 ( O_2 ) 的坐标代入，得到两个方程：
(x₁ - a)² + (y₁ - b)² = r²(x₂ - a)² + (y₂ - b)² = r²
联立化简这两个方程，最终能得到目标圆圆心 ( (a,b) ) 所在的直线（也就是 ( O_1O_2 ) 的垂直平分线），而半径 ( r ) 就是圆心 ( (a,b) ) 到 ( O_1 )（或 ( O_2 )）的距离。
二、更直接的推导方法
其实不需要先写最小圆的方程，直接利用两个已知圆心的坐标就能推导：
第一步：确定目标圆圆心的轨迹
因为目标圆经过 ( O_1 ) 和 ( O_2 )，所以目标圆的圆心必然在 ( O_1O_2 ) 的垂直平分线上。
先计算 ( O_1O_2 ) 的中点坐标：( \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) )
再计算 ( O_1O_2 ) 的斜率 ( k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} )（若 ( x_2 \neq x_1 )），那么垂直平分线的斜率为 ( -\frac{1}{k} )，由此可以写出垂直平分线的直线方程。第二步：计算目标圆的半径
目标圆的半径 ( r ) 等于其圆心 ( (a,b) ) 到 ( O_1 ) 的距离，即：r = √[(a - x₁)² + (b - y₁)²]
只要在垂直平分线上任取一点作为圆心，就能得到对应的半径——这也意味着，如果没有额外约束条件（比如目标圆与已知圆相切、经过某个特定点等），满足要求的圆有无数个，半径也有无数种可能。
关键提醒
如果你的问题里还有隐藏约束（比如目标圆需要和已知圆内切/外切），一定要把这个条件加上，这样才能唯一确定半径的值哦！
内容的提问来源于stack exchange，提问作者wawar05
