左作用的对偶类型及群左作用对偶形式专业问询

嘿，咱们来一步步拆解这两个代数问题哈：

简单来说，左群作用的对偶是右余作用。

这里的核心逻辑是对偶性带来的方向反转：群的左作用是从$G' \times G$到$G$的映射，当我们对偶到函数代数$\mathbb{C}[G]$上时，函数的复合方向会和原作用方向相反。具体来说，左作用$(h,a) \mapsto h.a$会诱导出函数代数上的一个“右向”的余结构——也就是右余作用，反之右群作用的对偶是左余作用。

给定左作用$G' \times G \to G$（记为$(h,a) \mapsto h.a$），我们来逐一分析两个选项：

• 对于选项(1)：映射$\mathbb{C}[G] \to \mathbb{C}[G'] \otimes \mathbb{C}[G]$的形式是左余作用的结构（余作用到$H \otimes A$，其中$H=\mathbb{C}[G']$，$A=\mathbb{C}[G]$），但它和左作用的对偶方向不匹配。
• 对于选项(2)：映射$\mathbb{C}[G] \to \mathbb{C}[G] \otimes \mathbb{C}[G']$满足$f(h.a)=f_{(-1)}(h)f_{(0)}(a)$，这正好对应左作用的对偶右余作用。我们可以把余作用写成$\delta(f) = \sum f_{(0)} \otimes f_{(-1)}$，此时$f(h.a)$就等于$\sum f_{(0)}(a)f_{(-1)}(h)$，完美契合左作用对偶后的余结构方向。

所以正确答案是选项(2)。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者LJR