群论求证：共轭元素的阶相等及简易解法的合理性疑问

我正在学习群论，需要完成这个证明：对任意$g,x \in G$，有$|x^{-1} g x | = |xgx^{-1}| = |g|$。我自己尝试了一个解法：

假设$g,x \in G$，则$|x^{-1} g x | = | \frac{1}{x} g x| = | \frac{x}{x} g| = | 1 \cdot g| = |g|$，证毕。

但我觉得这个推导不够严谨，想知道哪里有漏洞，以及需要补充哪些步骤才能让证明成立？

你的解法不严谨的核心问题 #

你用$\frac{1}{x}$代替群元素的逆元$x^{-1}$，还直接交换$x$和$g$的位置得到$\frac{x}{x}g$，这其实默认了群运算具有交换性——但群的定义里并没有要求运算可交换！只有阿贝尔群满足交换律，普通群是不一定的，所以这个推导的逻辑前提不成立，不能随意交换元素的运算顺序。

严谨的证明步骤（以$|x^{-1}gx|=|g|$为例） #

要证明两个群元素的阶相等，我们需要证明它们的阶数互相整除（因为正整数互相整除则相等）：

1. 设$|g|=n$，即$g^{n=e$（$e$是群$G$的单位元）。计算$(x}{-1}gx)^n$：

   (x^{-1}gx)^n = \underbrace{x^{-1}gx \cdot x^{-1}gx \cdot \dots \cdot x^{-1}gx}_{n个因子}
   

   中间相邻的$x \cdot x^{-1}$都会化简为单位元$e$，最终得到：
   $$(x^{-1}gx)n = x^{-1}gn x = x^{-1} e x = x^{-1}x = e$$
   这说明$|x^{{-1}gx|$是$n$的约数，即$|x}{-1}gx| \mid |g|$。

2. 反过来，设$|x^{{-1}gx|=m$，即$(x}{-1}gx)^{m=e$。展开后得到$x}{-1}g^m x = e$，两边同时左乘$x$、右乘$x^{-1}$，可得：
   $$g^m = x \cdot e \cdot x^{-1} = x x^{-1} = e$$
   这说明$|g|$是$m$的约数，即$|g| \mid |x^{-1}gx|$。

3. 因为$|x^{{-1}gx|$和$|g|$都是正整数，且互相整除，所以$|x}{-1}gx|=|g|$。

对于$|xgx^{{-1}|=|g|$的证明完全类似，只需把上述推导中的$x}{-1}$替换为$x$、$x$替换为$x^{-1}$重复即可。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bad at algebra and proofs