通过代换法求解一阶微分方程：求导与变量替换疑问

咱们逐个拆解你提出的问题，把每个点都讲明白：

1. 关于$dy = xdu + u$的推导是否正确？ #

这个推导不对哦。因为$y = ux$里的$u$其实是依赖于$x$的函数（毕竟$y$是$x$的函数，$u=y/x$自然也跟着$x$变），所以对$y=ux$求微分时得用乘积微分法则：
$$dy = d(ux) = xdu + udx$$
你写的式子漏了关键的$dx$项，这是核心错误，必须补上才行。

2. 能否写成$\frac{dy}{dx} = x\frac{du}{dx} + u$的形式？ #

完全可以！这是对$y=ux$两边关于$x$求导的正确结果。
左边对$x$求导就是$\frac{dy}{dx}$；右边用乘积求导法则：$u$对$x$求导是$\frac{du}{dx}$，乘以$x$，再加上$u$乘以$x$对$x$的导数（也就是1），最终得到：
$$\frac{dy}{dx} = x\frac{du}{dx} + u$$
这个形式在后续把原微分方程转化为$u$和$x$的方程时会非常好用。

3. 是否可通过求解$x$来推导$dx$？ #

当然可以呀。从代换式$u = \frac{y}{x}$，我们能解出$x = \frac{y}{u}$（这里把$y$看作自变量，$u$是关于$y$的函数），然后对这个式子求微分：
根据商的微分法则，$dx = d\left(\frac{y}{u}\right) = \frac{u \cdot dy - y \cdot du}{u^2}$
如果是对$x$关于$u$求导，也能得到$\frac{dx}{du} = -\frac{y}{u^2}$，转化为微分形式就是$dx = -\frac{y}{u^2}du$，具体用哪种形式可以看后续方程的处理需求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者the boy 88