求解$(-\log x)^2$：两种对数等式哪一个表述正确？

嘿，别纠结啦，这两个表述全都是正确的！我给你掰扯明白：

1. 关于 $(-\log x)^2 = (\log x)^2$ #

这是平方运算的基础特性：任何实数的平方结果都是非负的，而且负数的平方等于它本身绝对值的平方，也就是对于任意实数$a$，都有$(-a)^2 = a^2$。把这里的$a$换成$\log x$，直接就能得到这个等式——不管$\log x$是正还是负，平方之后的结果完全一致。

2. 关于 $(-\log x)^2 = \left(\log \left(\tfrac{1}{x}\right)\right)^2$ #

这得用到对数的核心性质：对于任意正数$x$，$-\log x = \log(x^{-1}) = \log\left(\tfrac{1}{x}\right)$（不管是常用对数$\log_{10}$还是自然对数$\ln$，这个性质都成立）。既然$-\log x$和$\log\left(\tfrac{1}{x}\right)$是完全相等的两个数，那它们的平方自然也相等，所以这个等式肯定成立。

额外补充：两个等式其实是等价的 #

因为$\log\left(\tfrac{1}{x}\right) = -\log x$，所以$\left(\log\left(\tfrac{1}{x}\right)\right)^2 = (-\log x)^2 = (\log x)^2$，三个表达式其实是一回事儿～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Anshul Laikar