两个不连通实数子集的并集是否必不连通？求反例

嘿，这个问题其实挺有意思的，答案确实是「否」——两个不连通的实数子集的并集完全可以是连通的，我给你举个最直观的经典反例：

我们取实数集中的两个子集：

• 有理数集 $\mathbb{Q}$：它在实数集里是不连通的。你可以把它拆成两个不交的非空开集（相对于 $\mathbb{Q}$ 自身的拓扑而言）的并，比如 $(-\infty, \sqrt{2}) \cap \mathbb{Q}$ 和 $(\sqrt{2}, +\infty) \cap \mathbb{Q}$。这两个集合都非空，彼此不交，而且它们的并就是整个有理数集，同时在 $\mathbb{Q}$ 里都是开集，所以 $\mathbb{Q}$ 满足不连通的定义。
• 无理数集 $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$：它同样在实数集里不连通。比如我们可以把它拆成 $(-\infty, 0) \cap (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q})$ 和 $(0, +\infty) \cap (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q})$，这两个非空不交的集合在无理数集的拓扑下都是开集，它们的并就是整个无理数集，因此无理数集也是不连通的。

而这两个不连通子集的并集是 $\mathbb{Q} \cup (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) = \mathbb{R}$——实数集本身是连通的，你没法将它拆分成两个非空不交的开集的并。

这个例子完美说明了：即使两个子集各自不连通，它们的并集也可能是连通的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user514386