已知PDF求CDF：计算机实际寿命的累积分布函数求解

让我一步步帮你拆解这个问题：

首先明确实际寿命T的定义：$T = \min(X, 3)$，因为用户会在电脑自然故障（寿命为X）或使用满3年时更换电脑，取先发生的那个事件对应的时长，也就是两者中的较小值。

累积分布函数$F_T(t)$的核心定义是$F_T(t) = P(T ≤ t) = P(\min(X, 3) ≤ t)$，我们分三种场景讨论：

1. 当$t < 0$时 #

电脑的寿命X始终大于0，所以$\min(X, 3)$不可能小于0，因此：
$$ F_T(t) = 0 $$

2. 当$0 ≤ t < 3$时 #

此时$\min(X, 3) ≤ t$等价于$X ≤ t$——因为t小于3，只要电脑寿命X不超过t，就会在t时刻前因故障更换；如果$X > t$，那么$\min(X,3)=3 > t$，不满足$T ≤ t$的条件。

已知X服从参数$\lambda=\frac{1}{5}$的指数分布，其累积分布函数为：
$$ F_X(t) = P(X ≤ t) = 1 - e^{-\frac{1}{5}t} \quad (t > 0) $$
因此这种情况下：
$$ F_T(t) = 1 - e^{-\frac{t}{5}} $$

3. 当$t ≥ 3$时 #

此时不管电脑寿命X是多少，$\min(X,3)$的最大值就是3，而$t ≥ 3$，所以$T ≤ t$一定成立，概率为1：
$$ F_T(t) = 1 $$

用单位阶跃函数写出单一表达式 #

单位阶跃函数$u(t)$的定义为：
$$ u(t) = \begin{cases} 0 & t < 0 \ 1 & t ≥ 0 \end{cases} $$

我们可以把分段的cdf合并成一个简洁的表达式：
$$ F_T(t) = (1 - e^{-\frac{t}{5}})u(t) + e^{-\frac{t}{5}}u(t - 3) $$

验证表达式的正确性 #

• 当$t < 0$时：$u(t)=0$，$u(t-3)=0$，结果为0，符合要求；
• 当$0 ≤ t < 3$时：$u(t)=1$，$u(t-3)=0$，结果为$1 - e^{-\frac{t}{5}}$，符合要求；
• 当$t ≥ 3$时：$u(t)=1$，$u(t-3)=1$，结果为$(1 - e^{-\frac{t}{5}}) + e^{-\frac{t}{5}} = 1$，符合要求。

你也可以整理成另一种等价形式：
$$ F_T(t) = u(t) - e^{-\frac{t}{5}}\left(u(t) - u(t - 3)\right) $$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Michael