丢番图方程问题问询：支票金额与找零场景的方程求解

咱们先把问题里的初始方程修正一下——你给的A = D + 100c明显不符合美元和美分的换算逻辑（1美元=100美分），实际应该把所有数值转成美分来计算（避免小数，完美适配丢番图方程的整数解要求）：

变量与方程定义 #

• 设实际支票价值为A美分，那么A = 100D + c（D是实际美元数，0≤D≤99；c是实际美分数，0≤c≤99）
• 收银员误将美元和美分互换，误写的支票金额为100c + D美分
• 商品价格是10.08美元，即1008美分
• 找零金额 = 误写金额 - 商品价格 = 7倍实际支票价值，由此得到核心方程：

  (100c + D) - 1008 = 7A
  

方程化简 #

把A = 100D + c代入方程，展开并整理：

100c + D - 1008 = 7*(100D + c)
100c + D - 1008 = 700D + 7c
93c - 699D = 1008

两边除以3简化为：

31c - 233D = 336

求解丢番图方程 #

步骤1：验证方程有解 #

用扩展欧几里得算法计算gcd(31,233)：

• 233 = 31×7 + 16
• 31 = 16×1 + 15
• 16 = 15×1 + 1
• 15 = 1×15 + 0
  最终得gcd(31,233)=1，1能整除336，说明方程有整数解。

步骤2：推导特解 #

反向推导扩展欧几里得的结果：

1 = 16 - 15×1
  = 16 - (31 - 16×1)×1 = 2×16 - 31
  = 2×(233 - 31×7) - 31 = 2×233 - 15×31

两边乘以336，适配目标方程31c -233D=336，得到一组特解：c₀=-5040，D₀=-672。

步骤3：筛选符合实际的通解 #

二元一次丢番图方程的通解形式为：

c = c₀ + 233k
D = D₀ + 31k

（k为整数，因gcd=1，系数取对方的原系数）

现在需要找k使得0≤D≤99且0≤c≤99：

• 由D≥0得：-672 +31k ≥0 → k≥22
• 由D≤99得：-672 +31k ≤99 →k≤24

逐个试k值：

• k=22：D=-672+31×22=10，c=-5040+233×22=86 → 符合0≤D,c≤99的实际要求
• k=23/24：计算出的c值超过99，不符合美分的取值范围

结论与验证 #

唯一有效解是D=10，c=86，即支票实际价值为10美元86美分（10.86美元）。

验证：

• 误写的支票金额：86美元10美分（86.10美元）
• 找零：86.10 - 10.08 = 76.02美元
• 7倍实际价值：7×10.86 = 76.02美元 → 完全匹配，结果正确。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Minura