将方程$x^2+xy+2y^2=4$通过旋转变换化简为二次曲线的技术问询

我最近尝试通过顺时针旋转坐标轴的方法，把方程 $x^2+xy+2y2=4$ 化简成标准二次曲线方程，过程如下：

第一步：确定旋转变换公式 #

顺时针旋转角度 $a$ 后，原坐标系的坐标 $(x,y)$ 和旋转后新坐标系的坐标 $(X,Y)$ 满足以下变换关系：

• x = Xcos(a) + Ysin(a)
• y = -Xsin(a) + Ycos(a)

第二步：代入原方程展开整理 #

把上述 $x$ 和 $y$ 的表达式代入原方程 $x^2+xy+2y2=4$，展开并合并同类项后，得到：
$$X^{2\left(1+\sin}2(a)-\frac{1}{2}\sin(2a)\right)+Y^{2\left(1+\cos}2(a)+\frac{1}{2}\sin(2a)\right)+XY\left(-\sin(2a)+\cos(2a)\right)=4$$

第三步：消去交叉项（XY项）的思路 #

要得到标准二次曲线方程，必须消去交叉项 $XY$，这就需要让 $XY$ 项的系数为0：
$$-\sin(2a)+\cos(2a)=0$$
化简后可得 $\tan(2a)=1$，解得 $2a=\frac{\pi}{4}+k\pi$（$k$ 为整数）。取最简单的情况 $k=0$，就得到 $a=\frac{\pi}{8}$（也就是22.5°）。

关于角度 $a=\frac{\pi}{8}$ 的小问题 #

确实，$\frac{\pi}{8}$ 的三角函数值没有特别直观的“精确整数/简单根式”形式，但其实我们可以通过半角公式计算出它的三角函数值，进而得到最终的标准方程：

• $\sin\frac{\pi}{8}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$，$\cos\frac{\pi}{8}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

把这些值代入之前得到的 $X^2$ 和 $Y^2$ 的系数中，计算后可以得到旋转后的标准方程：
$$(3+\sqrt{2})X^2 + (3-\sqrt{2})Y^2 = 8$$
或者写成椭圆的标准形式：
$$\frac{X^2}{\frac{8}{3+\sqrt{2}}} + \frac{Y^2}{\frac{8}{3-\sqrt{2}}} = 1$$
如果对分母有理化，还可以整理为：
$$\frac{(3+\sqrt{2})X^2}{8} + \frac{(3-\sqrt{2})Y^2}{8} = 1$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Hai