因子环中心同构性求证：Z(R/zR)与Z(R)/zZ(R)是否同构？

我正在尝试证明下述命题，或是寻找它的反例：

设$R$为环，$z \in Z(R)$（$Z(R)$表示$R$的中心），是否存在同构$$ Z(R/zR) \cong Z(R)/zZ(R) \hspace{2pt}?$$

我的尝试思路 #

最开始我想到构造一个自然映射来应用第一同构定理：

• 定义映射 $\varphi: Z(R) \to R/zR$，其中 $\varphi(x) = x + zR$。
• 先验证它是环同态：对任意 $x,y \in Z(R)$，加法和乘法的同态性都很容易验证——毕竟中心元素的运算保持交换性，模掉 $zR$ 后运算也兼容。
• 接下来求核：$\ker\varphi = {x \in Z(R) \mid x \in zR} = Z(R) \cap zR$。因为 $z$ 是中心元素，$zZ(R) \subseteq Z(R) \cap zR$；如果 $R$ 对中心元素 $z$ 是无挠的（即 $za=0$ 能推出 $a=0$），那么反过来，若 $x=zr \in Z(R)$，则对任意 $s \in R$，$zrs = szr$，即 $z(rs-sr)=0$，无挠性保证 $rs=sr$，也就是 $r \in Z(R)$，所以此时 $\ker\varphi = zZ(R)$，这部分是顺畅的。

但卡在了最关键的一步：证明 $\varphi$ 的像等于 $Z(R/zR)$。也就是说，我没法证明：对任意 $\overline{a}=a+zR \in Z(R/zR)$，一定存在 $x \in Z(R)$ 使得 $a - x \in zR$（即 $a$ 可以写成中心元素加 $zR$ 中的元素）。

反例：命题并不普遍成立 #

其实这个命题是不成立的，我找到了一个具体的反例：
取 $R = \mathbb{Z}[x,y]/(xy - yx - 2)$，也就是整数环上添加两个非交换变量 $x,y$，满足交换子 $xy - yx = 2$。这里 $z=2$ 显然属于 $R$ 的中心（常数项和所有元素都交换）。

• 计算 $Z(R)$：要找和 $x,y$ 都交换的元素，设 $f \in Z(R)$，则 $xf = fx$，展开后会发现只有常数多项式能满足这个条件（因为非零次项的交换子会产生 $2$ 的倍数项，无法被理想 $(xy-yx-2)$ 消去），所以 $Z(R) = \mathbb{Z}$。那么 $Z(R)/zZ(R) = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。
• 计算 $R/zR$：模掉 $2$ 后，$R/zR = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[x,y]/(xy - yx)$，也就是 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 上的交换多项式环，它的中心就是自身，即 $Z(R/zR) = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[x,y]$。

显然 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 和 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[x,y]$ 不同构（后者是无限维的，前者是有限的），这就说明原命题不成立。

附加条件下的成立情况 #

如果给 $R$ 加上一些更强的条件，命题可能成立：

• 分次环 + 齐次中心元素：假设 $R$ 是分次环，$z$ 是齐次的中心元素，那么 $R/zR$ 也是分次环。如果 $R$ 是分次交换环，那 $Z(R)=R$，此时 $\varphi$ 的像就是 $R/zR$，中心也是自身，同构自然成立；对于分次非交换环，比如分次Artin环，结合分次结构的性质，可能也能证明像等于 $R/zR$ 的中心。
• $z$ 是正则元（非零因子）：此时 $\ker\varphi = zZ(R)$ 已经成立（前面无挠性的推导），如果再加上 $R$ 是有限生成投射模或者Noether环，或许可以通过构造性的方法找到对应的中心元素，证明 $\varphi$ 的像覆盖 $Z(R/zR)$。
• 半素环：半素环中，中心元素的零化子都是零理想，所以对中心元素 $z$ 自然无挠，$\ker\varphi=zZ(R)$；如果再结合半素环的其他性质（比如Goldie环），可能能推进像的覆盖性证明。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user533763