Δ=0的二次多项式：f(a)=0是否蕴含f’(a)=0？

这个命题完全成立，咱们用两种直观的方式来推导，一看就明白：

方法一：利用重根的因式分解形式 #

因为f(x)是判别式Δ=0的实二次多项式，所以它可以拆成完全平方的形式：
f(x) = k(x - a)^2
这里k≠0（毕竟是二次多项式，最高次项系数不能为0），a就是题目里说的那个重根。

对f(x)求导：
f’(x) = 2k(x - a)

把x=a代入导数表达式：
f’(a) = 2k(a - a) = 0
直接就能得出f’(a)=0的结论。

方法二：用一般二次多项式展开推导 #

设标准形式的二次多项式为：
f(x) = Ax² + Bx + C（A≠0）
已知Δ=B²-4AC=0，那么它的重根a满足求根公式：
a = -B/(2A)

对f(x)求导得到：
f’(x) = 2Ax + B

把x=a代入导数：
f’(a) = 2A*(-B/(2A)) + B = -B + B = 0
同样能验证命题成立。

其实还可以延伸一下：这个性质不止适用于二次多项式——对于任意n次多项式，只要x=a是它的重根（重数≥2），那么必然有f’(a)=0，这是多项式重根的一个基本判定性质哦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user517526